chap7解析幾何
7.3代數曲線
在這段話中，笛卡爾定義了我們現在所謂的代數曲線。
笛卡爾拒絕超越方程是短視之舉，因微積分很快就提供了研究它們的級數；但無論如何，集中關注代數曲線是有益的。特別地，次數的概念有利於反應曲線的複雜性。一次曲線可能是最簡單的，即直線；二次曲線次簡單，它們是圓錐曲線。在三次曲線的情形，我們看到了新的現象：拐折、二重點和尖點。眾所周知，拐點和尖點分別出現在y=x^3和y^2=x^3中；我們在蔓葉線上也看到了尖點（2.5節）。有二重點的三次曲線的經典例子是笛卡爾的葉形線（folium，1638）：x^3+y^3=3axy。「葉」是二重點右邊的閉合部分；笛卡爾忽略負座標，因而並不了解曲線的其餘部分。葉形線的真實形狀首先由惠更斯給出（1692）。圖7.1是惠更斯畫的，畫中還顯示了該曲線的漸近線。
chap11數論的復興
11.2費馬小定理
真正由費馬證明的最著名的定理就是眾所周知的他的「小」定理——之所以如此稱呼這個定理，是為了把它和費馬「最後」定理，或費馬「大」定理（見下節）區分開來。費馬小定理敘述如下：
如p是素數，n與p互素，則n^(p-1)≡1(mod p)。
為避免使用費馬時代尚不知道的「同餘mod p」這種語言，這個結論可等價表述為n^(p-1)-1被p整除或n^p-n被p整除。後者成立是因為n^p-n=n(n^(p-1)-1)，那麼，由於p是素數，又不能整除n，所以僅當p能整除n^(p-1)-1時才有p整除n^p-n。
費馬小定理現在已成為應用數學的某些領域，諸如密碼學中不可或缺的東西。發人深思的是，這個定理起源於數學中最少應用性的問題，即構造完全數問題。正如我們在3.2節見到的，它依賴於形如2^m-1的素數的構造。這是最初使費馬對2^m-1是否有因子的條件感興趣的緣由。在同一時期（17世紀30年代中期），他研究了二項式係數。這兩種興趣的綜合很可能導致他發現了n=2時的小定理。
至此，我們還只證明了n=2時的費馬小定理。韋伊（1984）據此提出了證明一般的費馬小定理的兩種途徑。一種是重複使用二項式定理，這是屬於尤拉的第乙個發表的費馬定理的證明（1736）；另一種是直接應用多項式定理，這實際上是人們最早知道的證明方法，它見於17世紀60年代晚期萊布尼茨未發表的一篇文章中[參見韋伊（1984），56頁]。
11.5虧格為0的三次曲線上的有理點
例如，在1.3節中，在圓x^2+y^2=1上的作圖給出了它的引數化
x=(1-t^2)/(1+t^2)，y=2t/(1+t^2)（圖11.2）。
虧格為0的曲線可以定義為容許用有理函式實現引數化的曲線。我現在要證明：一些三次曲線的虧格也為0，辦法是應用與笛卡爾的葉形線很相似的作圖。
葉形線在7.3節定義為其方程是x^3+y^3=3axy----(1)的曲線。原點o是葉形線上明顯的有理點；從圖11.3可進一步清楚地看出o是該曲線的二重點。
圖11.3葉形線的引數化
x=3at/(1+t^3)，及y=3at^2/(1+t^3)。
類似的作圖可用於任乙個有二重點的三次曲線上，或者更一般地用到有n重點的n+1次曲線上，因此所有這些曲線的虧格皆為0。
11.6虧格為1的三次曲線上的有理點
我們還不能給出虧格1的精確定義，但虧格為1的情況太多了，所有虧格不為0的三次曲線都具有虧格1。從11.5節我們知道虧格為1的三次曲線不能有二重點，實際上它也不能有尖點，因為這兩種情況都會匯出有理引數化（尖點的一種情形，見習題7.4.1）。我們要講的是可以將虧格為1的三次曲線引數化的函式。這樣的函式就是橢圓函式——它們到19世紀才被定義，克萊布施（a.clebsch）（1864）首次將它們應用於三次曲線的引數化。
chap19群論
19.1群的概念
這些公理是從研究特殊的群開始經過乙個多世紀的發展才成型的，其間它們的基本面貌逐漸地浮現了出來。
也許最早使用逆元的非平凡例子出現在「模p乘法」的運算中——尤拉（1758）（他之前可能還有費馬）用它給出了費馬小定理的、本質上屬於群論的證明。尤拉在他的證明中並未定義乙個群，但對我們來說要做到這一點很容易（重述尤拉的證明見習題）。該群的元素是mod p的非零剩餘類：
1modp=,
2modp=,
3modp=,
……(p-1)modp=,
此時的乘法定義為
(amodp)(bmodp)=(ab)modp。
前面的例子說明了幾何與數論對群概念的影響。更具決定性的影響來自方程論，下節我們會簡要地談到它。
19.2置換與方程論
我們從11.1節知道，早在2023年萊維·本·熱爾松就發現了n件東西有n!種置換方式。這些置換都是可逆函式，它們構成乙個群s_n[n次對稱群]，其中乘法是合成。然而，它們在合成下的性態在18世紀以前從未被考慮過。直到範德蒙德（1771）和拉格朗日（1771）將置換的思想應用到多項式方程的根上，才首次發現了置換的群論性質。同時，範德蒙德和拉格朗日還發現，這是理解方程有無根式解的關鍵。
19.3置換群
伽羅瓦理解的「群」就是有限集合的置換群。
從歷史上看，幾何是無限群最重要的**，我們將在19.5節中闡述它。
19.4多面體群
十二面體和二十面體之間的對偶關係表明了它們具有相同的對稱群，原來這個群就是a_5[5次交錯群]，即s_5中偶置換的子群。
19.5群和幾何
19.6組合群論
《贏》讀書摘要01
使命和價值觀 使命 使命主要描述乙個問題，我們的業務如何才能贏？它要求公司在人員 資金以及其他資源等方面做出取捨 選擇，避免自己陷入盲目的出擊的陷阱中。它讓企業明白自己的優勢和劣勢，明白自己能夠在哪種競爭中贏得遊戲 有效的使命總是在可能的目標和不可能的目標之間尋求的一種平衡。它既要給大家清晰地方向，...
Rework的讀書摘要
rework 2.learning from mistakes is overrated 從錯誤中學到的東西被高估了 3.planning is guessing 計畫是幻想 takedown 準備 5.why grow?6.workaholism 工作狂？7.enough with entrepr...
讀書摘要 大話設計模式
第二章 策略模式 策略模式與簡單工廠 factory method 的結合 在基本的策略模式中，選擇所使用的具體策略實現的職責由客戶端使用者承擔，這並沒有解除客戶端需要選擇判斷的壓力 將策略模式與簡單工廠模式結合後 在 context類中加入factory method的特性 選擇具體實現的職責也由...