要理解除操作，我們首先要引入「象集」這個概念。
其實象集很簡單，就跟我們學過的函式對應關係差不多,只不過函式是「一對一」或者「多對一」，而象集恰好相反，是「一對多」。
引入乙個例子看看。假設我們有一張學生選課表sc(sno, cno, grade)，其中sno的學生的學號，cno是課程號，grade是分數。這張表記錄了學生選修某門課的成績。
snocno
grade
2020001
00193
2020001
00295
2020001
00390
2020002
00198
2020002
00387
2020003
00275
（備註：一共只有三門選修課：「001」，「002」，「003」）
我們不給出「象集」的任何定義，先直接求出象集，求完之後，你也就明白了，注意前面說的一對多的關係。
2020001的象集
2020002的象集
2020003的象集
有了象集的概念後，我們現在來理解「除運算」。假設我們有兩個關係r(x,y)和關係s(y,z)，那麼
r÷s = 其中yx為x在r中的象集。
是不是懵逼了？什麼鬼東西？
其實啊，這都是紙老虎，沒那麼難！我們只需要從列（屬性）和行（元組）來理解就可以了。
列（屬性）：r ÷ s得到的新的關係（表）,它的列是從r中的列中去掉r和s相交的列。
行（元組）：r中每乙個x對應的象集應該包含s的投影
這就是「除運算」，這麼說可能還是有些抽象，我們繼續用上面給出的學生選課例子來研究，為了方便我們暫時先將sc的grade屬性去掉，然後我們再加乙個課程關係c（cno,cname）
sc:sno
cno2020001
0012020001
0022020001
0032020002
0012020002
0032020003
002c:
cnocname
001作業系統
002計算機網路
003資料結構
我們通過這兩個表求sc÷c，我們從列和行兩個步驟來進行求解。
第一步（列）：sc和c公共的列是cno，所以r÷s必然只剩下r中的sno列，故列先被確定下來了
sc÷c
sno2020001
2020001
2020001
2020002
2020002
2020003
第二步（行）：
c的投影為(001,002,003)，而sc中sno的象集中包含(001,002,003)的只有2020001，故，行也被確定下來了
sc÷c
sno2020001
聰明的你可能已經發現，sc÷c表示的含義是「查詢選修了全部課程的學生」，其實除操作非常適合用於求「至少使用了…的全部」之類的查詢
我們剛剛討論了除操作的關係代數，那麼怎麼用sql語句來表示呢?事實上，sql語言並沒有定義除操作，甚至連全稱量詞都沒有，但是有存在量詞exists 和 not exists,所以通常的思路就是將全程量詞轉變為存在量詞來實現除操作。這種也是大多數教材普遍的**，但是我們今天不用這種方法，因為那種方法有些繞，使得我們很容易看懂別人寫的，但是讓自己寫卻寫不出來。所以我們用另一種非常好理解的方式：從除操作的定義出發來解決，不過這要求我們知道什麼是右外連線，不用慌，活著就是為了折騰，我都為你準備好了。
什麼是「外連線」呢？這恐怕得從「連線（嚴格來講應該是自然連線）」說起！我們還是使用上面的sc表和c表，注意表的變化！
sc:sno
cno2020001
0012020001
0022020001
003c:
cnocname
001作業系統
002計算機網路
003資料結構
004計算機組成原理
當我們對兩張表做連線的時候，我們會將sc和c中cno相等的元組拼接起來，於是得到新的關係
sc∞c:
snocno
cname
2020001
001作業系統
2020001
002計算機網路
2020001
003資料結構
細心的你一定發現了，計算機組成原理這麼課因為沒人選，所以連線運算時就丟失了，這就是所謂的「懸浮元組」。為了讓懸浮元組也出現，於是人們就折騰出了外連線、左外連線、右外連線，我們這裡直接說右外連線吧。
當c中的元組的cno與sc中的元組的cno沒有對應關係的時候，我們不丟棄這個選組，仍然將其顯示出來，用null填充沒有匹配的字段，也就是下面這樣：
sc∝c:
snocno
cname
2020001
001作業系統
2020001
002計算機網路
2020001
003資料結構
null
004計算機組成原理
了解了右外連線後我們就可以利用它這個性質來做除運算了。我們再次使用上面的例子（注意sc和c的變化）
sc:sno
cnograde
2020001
00193
2020001
00295
2020001
00390
2020002
00198
2020002
00387
2020003
00275
c:cno
cname
001作業系統
002計算機網路
003資料結構
現在我們求選修了全部課程的學生的學號
我們先寫關係代數：
① 全部課程的課程號：∏cno（c）
②除：sc ÷ ∏cno（c）
③投影取學號:∏sno（sc ÷ ∏cno（c））
關係代數很容易寫出，但是sql語句稍微有些複雜，現在我們就用外連線來實現。
sql語句
select
distinct sno
from sc a
where
notexists
(select
*from
(select sno, cno from sc b where a.sno = b.sno) x
right
outer
join
(select cno from c) y
on x.cno = y.cno
where x.sno is
null
);
sc:sno
cnograde
2020002
00275
2020001
00193
2020001
00295
2020001
00390
c:cno
cname
001作業系統
002計算機網路
003資料結構
外層迴圈先取出一條記錄select distinct sno from sc a:（2020002， 002， 75）
我們拿到這個學生的學號2020002，然後找出他選修的所有課程：select sno, cno from sc b where a.sno = b.sno：只有一門課002
然後用002與所有課程做外連線，得到如下的結果：
snocno
null
0012020002
002null
003顯然，有兩個sno為空了，所以not exists不通過，2020002不是選修了全部課程的學生
以同樣的方式對2020001操作得到下面的結果
snocno
2020001
0012020001
0022020001
003sno沒有null，所以2020001是選修了全部課程的學生,將其學號輸出。
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