LeetCode 322 零錢兌換

**leetcode, 題目位址

給定不同面額的硬幣 coins 和乙個總金額 amount。編寫乙個函式來計算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數。如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。

每一種硬幣都有選擇和不選兩種情況，因此最簡單的方法就是窮舉所有可能性，從中找到最小的選擇，遞迴樹如下:

狀態樹

每次節點的子節點都會出現3個分支，因此時間複雜度是指數級。

儘管明知這個**是不能通過leetcode，我還是把**給寫完了。

class solution1 
void dfs(int depth, int amount, vector& coins)
for (auto coin : coins)
return ;}};

對於一些比較正常的資料，這個**都能正常執行，但是對於leetcode中的[186,419,83,408] 6249，標準答案是20，也就是至少有20層，因此計算量至少是3^20，但是遞迴深度可以達到75層，計算量就是乙個天文數字了。

遞迴樹其實是一種深度優先的搜尋方法，我們可以採用廣度優先搜尋方法，對遞迴樹按層進行遍歷，第一次遇到amount=0的時候，也就是最小的遍歷層數。

class solution2 );
while ( !q.empty()) );}}
return -1;}};

儘管看起來， bfs或許比dfs能夠更快的找到最終的解（不需要遍歷所有的狀態），但是由於遞迴樹本身就是指數增長，因此只要層數過大，時間就會驚人的增長。

你可以保持[1,2,5]不變，然後依次測試，10,20,50,80,100. 你會發現前4個解決速度都比較快，但是到了100，時間就上天了。

暴力遞迴的問題在於，節點的增長是指數級別的。如果我們每次都選擇當前的最優解，也就是對於11，從1，2，5中找交換的硬幣的時候，都以5，2，1這種順序進行選擇，就避免了指數級別的增長。

class solution 
int dfs(int level, int amount, vector& coins)
for (auto coin : coins)
return -1;}};

但是貪心演算法有乙個弊端，你得要證明能夠從區域性最優一直推導出全域性最優解，才能保證你的結果是正確的。如果無法保證，那麼貪心演算法不一定保證最終結果就是最優解，所以這裡貪心演算法也是無法通過。

在我們之前的遞迴樹中，無論採用何種遍歷方式（dfs或bfs），都無法逃脫時間指數級別增長的命運。

不過當我們仔細觀察遞迴樹的時候，我們會發現一些節點是被重複計算的。如果能避免這些重複計算，那麼時間複雜度就會降低到o(n^2)

在原來遞迴的**上加上記憶化，我寫了很久，主要是不知道在遞迴的時候，如何記錄當前情況下，如何挑選最優子問題。

先放上正確的答案

class solution 
int dfs(vector& coins, int amount)
}dict[amount] = (min == int_max ? -1 : min);
return dict[amount];}};

遞迴返回的從最後一層到當前層的所需的步數。而之前的遞迴程**則是每次記錄當前的深度，最終拿深度和全域性最小值進行比較。

下面則是我的錯誤示範。我的**主題也是想算出最後位置到當前位置的經歷的步數，但是我想用最後一層的深度減去當前的深度。結果每乙個amount對應都是1.

// 遞迴+記憶化
class solution4 
int dfs(int depth, int amount, vector& coins)
if (dict.find(amount) != dict.end() ) 
int local_min = int_max;
for (auto coin : coins)
dict[amount] = (local_min == int_max ? -1 : local_min);
return dict[amount];}};

事實上遞迴加記憶化就是一種動態規劃，只不過遞迴是一種自頂向下的策略。並且有了之前遞迴加記憶化的經驗，我們寫遞推就變得簡單了。

第一步: 定義子問題。我們求解組成金額為n的最少硬幣數，也就是求解一系列 n-k (k=coins) 子問題中的最小選擇加1。以amount=11，coins=1,2,5為例。求解amount=11的最少硬幣，也就是在10,9,6這三種選擇中挑選其中所需硬幣最小的子問題，然後加1.

第二步：定義dp陣列. f(n) = min + 1

第三步: 定義dp方程: dp[i] = min(dp[i], dp[i-coins[j] ] )+ 1

最終**如下

class solution }}
return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];}};

**中的細節，

最終來看，自底向上的動態遞迴的**反而是最簡潔的。

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