對於複雜的積分怎麼計算呢？這就提出了數值積分，他就是通過將連續區間進行離散，對離散量求和便是積分的近似值。
1d積分 ∫fdξ 在-1到1上求積分，數值積分就是，將-1到1離散為n個點，σak*f(ξk) 其中ξk為-1，-1+2/n，-1+4/n，....，1。ak為對應的ξk在每個點處的權係數。
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高斯積分：數值積分的一種。規定了ak與ξk怎麼求。
下面展開敘述，如何求ak與ξk：
1.1d積分∫fdx 在-1到1上求積分***的積分區間都是-1到1，沒寫懶得打了。
1.11點高斯積分
∫fdξ = a1*f(ξ1) 式1
令 f=a0 則式1化為 2*a0 = a1*a0 式子1.1
令 f=a1*ξ 則式1化為 0 = a1*a1*ξ1 式子1.2
通過式1.1與1.2可求出 a1=2 ξ1=0
所以1點高斯積分為 2*f(0)
1.22點高斯積分
∫fdξ = a1*f(ξ1) + a2*f(ξ2) 式1
令 f=a0 則式1化為 2*a0 = a1*a0 + a2*a0 式子1.1
令 f=a1*ξ 則式1化為 0 = a1*a1*ξ1 + a2*a1*ξ1 式子1.2
令 f=a2*ξ**2 則式1化為 0 = a1*a2*ξ2**2 + a2*a2*ξ2**2 式子1.3
令 f=a3*ξ**3 則式1化為 0 = a1*a3*ξ3**3 + a2*a3*ξ3**3 式子1.4
通過式1.1與1.2 1.3 1.4， 四個式子四個未知量，可求出 a1=1 a2=1 ξ1=1/sqrt(3) ξ2=1/sqrt(3)
所以2點高斯積分為 1*f(-1/sqrt(3)) + 1*f(1/sqrt(3))
2.2d積分∫∫fdxdy x為-1到1 y為-1到1
下面就舉個例子如何利用2點高斯積分求解2d積分。
f = sin(exp(x*y))
先以y為常數，則∫fdx = sin(exp(-1/sqrt(3)*y)) + sin(exp(-1/sqrt(3)*y))
接著再對sin(exp(-1/sqrt(3)*y)) 求積分 ∫sin(exp(-1/sqrt(3)*y)) dy = sin(exp(-1/3)) + sin(exp(1/3))
接著對sin(exp(1/sqrt(3)*y))求積分 ∫sin(exp(1/sqrt(3)*y)) dy = sin(exp(1/3)) + sin(exp(-1/3))
則∫∫fdxdy (x為-1到1 y為-1到1) 該2d的兩點高斯積分便是 2*sin(exp(-1/3)) + 2*sin(exp(1/3))
即2d與3d的高斯積分都可以轉化為1d的高斯積分計算，只需要求出1d積分中的積分點與權係數即可。一般也不用求，查表即可。
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補充一下，自己用python算的結果。
不知道為什麼sympy不出結果，只是乙個表示式，所以我用scipy計算二重積分。
# sympy計算結果
val1 = sp.integrate(sp.sin(sp.exp(x*y)),(x,-1,1), (y,-1,1))
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from scipy import integrate
import numpy as np
val2,err2 = integrate.dblquad(lambda y,x:np.sin(np.exp(x*y)),-1,1,-1,1) # 引數依次為表示式 x下限 x上限 y下限 y上限
# scipy計算結果
print ('二重積分結果：',val2)
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# 高斯積分
val1 = 2*(np.sin(np.exp(1/3)) + np.sin(np.exp(-1/3)))
print('高斯積分結果', val1)
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