分治演算法的深入理解

在利用分治演算法求問題解時其基本思路可以分為以下幾個步驟:

（1）分解，將要解決的問題劃分成若干規模較小的同類問題

（2）求解，當子問題劃分得足夠小時，用較簡單的方法解決

（3）合併，按原問題的要求，將子問題的解逐層合併構成原問題的解.

下面我們將通過具體的例項來對以上步驟做出詳細的分析。

給定乙個整數陣列 nums ，找到乙個具有最大和的連續子陣列（子陣列最少包含乙個元素），返回其最大和

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

輸出: 6

解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

問題分析：

我們要求最大子串行的和，就要先找到最大子串行的位置。那麼最大子串行在哪呢？我們將陣列二分，設定 mid=(low=high)/2 ，最大子串行要麼在mid的左邊[low,mid]，要麼在mid的右邊[mid+1，high]，要麼跨立在分界點上。哪什麼又叫做"跨立在分界點上"呢？只有包含子串行[mid,mid+1]的序列才叫做"跨立在分界點上"。通俗的將就是包含左邊序列的最後乙個元素mid和右邊第乙個元素mid+1的序列。在了解了"跨立"的含義後，我們又應該如何去解決求各個子串行的最大值呢？這其中又要利用到線性動態規劃的思想(詳解請見另一篇文章)。我們以左子串行為例,-2,1,-3,4,-1，連續的子串行可以分為以-2結尾的子串行，以1結尾的子串行，以-3結尾的子串行…我們假設以各數結尾的最大子串行的值為b[j]，那麼與j緊鄰的i(i>j)結尾的最大值為max,用狀態轉移方程式表示為b[i] max.

/*
動態規劃
時間複雜度o(n),空間複雜度o(1)
*/public
class
main
;//測試資料
int[
] b =
newint[9
];//用來記錄各個狀態的最大值
system.out.
println
(continuesubmax
(date,b));
}//求最大連續子陣列的和
public
static
intcontinuesubmax
(int
date,
int[
] b)
}return max;
}}

有如上的基礎後，我們可以配合分治的思想來解決此問題。我們又該如何求"跨立"序列的最大值呢？由於跨立序列必然包含子串行[mid,mid+1],其中mid為左子串行的結尾，mid+1為右子串行的開頭，所以問題轉化為跨立序列的最大值 = 以mid結尾的左子串行的最大值+以mid+1開頭的右子串行的最大值

/*
分治法時間複雜度o(nlogn),空間複雜度o(logn)遞迴時棧使用的空間
*/public
class
main
;// 測試資料
system.out.
println
(continuesubmax(0
,8,date));
}//求最大連續子陣列的和
public
static
intcontinuesubmax
(int low,
int high,
int[
] date)
int mid =
(low+high)/2
;//二分區間
int lm =
continuesubmax
(low,mid,date)
;//左子串行的最大值
int rm =
continuesubmax
(mid+
1,high,date)
;//右子串行的最大值
//從mid開始依次往前找到以mid結尾的左子串行的最大值
int leftmax = date[mid]
;int leftsum =0;
for(
int i=mid;i>=low;i--
)//從mid+1開始依次往後找到以mid+1加一開頭的右子串行的最大值
int rightmax = date[mid+1]
;int rightsum =0;
for(
int i=mid+
1;i<=high;i++
)//跨立序列的最大值
int cm = leftmax + rightmax;
return math.
max(cm,math.
max(lm,rm));
}}

給定乙個長度為 n+1 的陣列nums，陣列中所有的數均在 1∼n 的範圍內，其中 n≥1。請找出陣列中任意乙個重複的數，但不能修改輸入的陣列。

樣例

給定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。

返回 2 或 3。

問題分析：

首先，由題意我們可知陣列的長度為n+1,也就是說數組裝了n+1個數，又有每個數的範圍是 [1,n],那麼必然存在連個重複的數。為什麼？這便是抽屜原理-------桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜裡，無論怎樣放，我們會發現至少會有乙個抽屜裡面放不少於兩個蘋果。這一現象就是我們所說的「抽屜原理」。抽屜原理的一般含義為：「如果每個抽屜代表乙個集合，每乙個蘋果就可以代表乙個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有乙個集合裡至少有兩個元素。」抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理。由此我們可以得出基本的解題思路，首先我們將範圍區間二分為 [ 1, (1+n)/2 ] 和 [ (1+n)/2 + 1 , n],然後遍歷陣列，統計陣列分別在區間 [ 1, (1+n)/2 ] 和區間 [ (1+n)/2 + 1 , n]的個數，如果數的個數大於區間的長度，說名重複得數一定再此區間，然後再將此區間重複上訴過程，直到找到答案，即每個區間的長度變為1.

public
class
main
; system.out.
println
(findrepeatnumber(1
,date.length-
1,date));
}//找出重複的元素
public
static
intfindrepeatnumber
(int low,
int high,
int[
] date)}if
(count>mid-low+1)
else
}return low;
//或者return high;
}}

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