揹包問題小結

這個周好好總結了揹包問題，下面簡單總結一下揹包問題，也方便以後忘了可以來複習

揹包問題最基礎的就是01揹包，其他的揹包問題都可以通過新增各種附加條件這樣的方式轉化為01揹包。01揹包就按字面意思來理解，每個物品只有一件，0是false1是true就是這件物品裝還是不裝，做出選擇，根據這個選擇我們也可以寫出狀態轉移方程，定義乙個二維陣列f[i][v]表示前i件物品部分或全部放入容量為v的揹包可以獲得的最大價值，根據題意如果第i件物品不放入揹包，那麼當前揹包的最大價值和前一件物品的狀態是相同的，那麼狀態轉移方程就是f[i][v]=f[i-1][v],如果第i件物品不放入揹包，狀態轉移方程就是f[i][v]=f[i-1][v-w[i]]+c[i],w[i]是第i件物品的重量，c[i]是第i件物品的價值，解釋一下就是如果第i件物品放入揹包，那麼當前揹包的價值就等於在前一件物品，並且揹包裡沒有第i件物品的最大價值再加上第i件物品的價值。最後取出二者的最大值即可，即

f[i][v]=max(f[i-1][v-w[i]]+c[i],f[i-1][v]);

用二維陣列f[maxn][maxn]儲存子問題的時候，如果maxn超過2000就會超過記憶體限制，**沒辦法執行，這個時候我們可以用一位陣列的模式來優化空間複雜度，即

f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i]);

意思的話跟二維陣列沒有太大區別，一看就能明白

看一道01揹包的遍歷

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提交數: 12659 通過數: 7806乙個旅行者有乙個最多能裝 mm 公斤的揹包，現在有 nn 件物品，它們的重量分別是w1，w2，...,wnw1，w2，...,wn ,它們的價值分別為c1,c2,...,cnc1,c2,...,cn ，求旅行者能獲得最大總價值。

第一行：兩個整數，mm (揹包容量，m≤200m≤200 )和nn (物品數量，n≤30n≤30 )；

第2..n+12..n+1 行：每行二個整數wi，ciwi，ci ，表示每個物品的重量和價值。

僅一行，乙個數，表示最大總價值。

10 4

2 13 3

4 57 9

#includeusing namespace std;
const int n=201;
int qread () 
while (ch>='0'&&ch<='9') 
return x*f;
}int i,j,m,n,wi,ci,f[n]=;
int main () 
} cout<<"max="《接下來就是多重揹包問題，介紹概念的例題就是慶功宴，這個問題的區別就是有n種物品，每種物品並不是每件都可用，會有乙個n[i]陣列儲存每種物品可用的數量，這個問題的基本方程需要將完全揹包的方程做一下更改，對於第i件物品有n[i]+1種策略，取0件1件直到n[i]件，令f[i][v]表示前i種物品放入揹包的最大價值 
狀態轉移方程就是
f[i][v]=max(f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i],f[i-1][v]);

下面看一下慶功宴這道題目

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提交數: 8353 通過數: 4811為了慶賀班級在校運動會上取得全校第一名成績，班主任決定開一場慶功會，為此撥款購買獎品犒勞運動員。期望撥款金額能購買最大價值的獎品，可以補充他們的精力和體力。

第一行二個數n(n≤500)，m(m≤6000)，其中n代表希望購買的獎品的種數，m表示撥款金額。

接下來n行，每行3個數，v、w、s，分別表示第i種獎品的**、價值（**與價值是不同的概念）和能購買的最大數量（買0件到s件均可），其中v≤100，w≤1000，s≤10。

一行：乙個數，表示此次購買能獲得的最大的價值（注意！不是**）。

5 1000

80 20 4

40 50 9

30 50 7

40 30 6

20 20 1

#include#include#include#includeconst int maxn = 6005;
using namespace std;
int w[maxn],c[maxn],p[maxn],dp[maxn];
int main()
} }cout《剩下的分組揹包和二維費用揹包都不是很常見就先沒有總結
再看兩道我這個周做的vj的揹包問題
電子科大本部食堂的飯卡有一種很詭異的設計，即在購買之前判斷餘額。如果購買乙個商品之前，卡上的剩餘金額大於或等於5元，就一定可以購買成功（即使購買後卡上餘額為負），否則無法購買（即使金額足夠）。所以大家都希望盡量使卡上的餘額最少。 
某天，食堂中有n種菜**，每種菜可購買一次。已知每種菜的**以及卡上的餘額，問最少可使卡上的餘額為多少。 
input
多組資料。對於每組資料： 
第一行為正整數n，表示菜的數量。n<=1000。 
第二行包括n個正整數，表示每種菜的**。**不超過50。 
第三行包括乙個正整數m，表示卡上的餘額。m<=1000。 
n=0表示資料結束。 
output
對於每組輸入,輸出一行,包含乙個整數，表示卡上可能的最小餘額。
sample input
1505
101 2 3 2 1 1 2 3 2 1
500

sample output
-45
32
起初我的思路是先把**公升序排序，然後拿餘額乙個乙個減，減到最接近5的時候停止，最後再減去最大的那個**然後輸出，說到底用了貪心的想法，每次減最小的然後結果最接近5，其實不然。
例如這組資料，如果用貪心的話，最多剩10-1-3=6，但明顯10-5=5比6小，可見貪心是不行的
這就用到了動態規劃裡的01揹包問題了

#include#include#include#includeusing namespace std;
int a[1100],dp[1100];
int main()
} int ans;
for(int i = 0; i <= 366; ++i)
} printf("%d\n", ans);
}}

最後說一下這個周做cf的題目情況吧，明明是一道很簡單的題目，當時我不管是用暴力還是dp都做不出來，而事後看題解就發現其實是一道很簡單dp題目，這樣就讓我很困惑，感覺做dp題目就是這樣其實並不是不會，思路並不難，可就是不會，總結下來還是題解看多了，而題目又做少了，以後我一定克服這些問題。想要做好無非看自己想不想，需要多花時間，希望自己可以做的更好。

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