學習筆記
學習書目：《統計學：從資料到結論》–吳喜之
很多檢驗都假定了總體的背景分布，但也有些檢驗沒有假定總體分布的具體形式，這些檢驗多根據資料觀測值的相對大小建立檢驗統計量，然後找到在零假設下這些統計量的分布，並且看這些統計量的資料實現是否在零假設下屬於小概率事件。這種和資料本身的總體分布無關的檢驗稱為非引數檢驗。
在分布未知時，如果還假定總體有諸如正態分佈那樣的己知分布，在進行推斷性統計時，就可能產生錯誤甚至災難。非引數檢驗總是比傳統檢驗安全，但在總體分布形式已知時，非引數檢驗就不如傳統方法效率高，這是因為非引數的方法利用的資訊要少一些，往往在傳統方法可以拒絕零假設的情況下，非引數檢驗無法拒絕。但非引數統計在總體分布未知時，效率要比假定了錯誤總體分布時的傳統方法要高，有時要高很多.
符號檢驗
符號檢驗，它是對位置引數中位數的檢驗，而且不需要任何關於總體的假定。當然，對於像正態分佈或t
tt分布那樣的對稱分布，總體中位數就是總體均值.這時，對中位數的檢驗等價於對均值的檢驗.
檢驗一般以兩種形式出現，一種是看中位數或α
\alpha
α分位數是否是某個事先認定的值(零假設)，一種是大於(或小於)某數的觀測值是否為乙個事先認定的比例(零假設).
符號秩檢驗的原理是這樣的，有樣本x1,
x2,.
..,x
nx_1,x_2,...,x_n
x1,x2
,..
.,xn
，如果零假設為中位數m=m
0m=m_0
m=m0
,則需要計算在n個差xi−
m0(i
=1,2
,...
,n
)x_i-m_0(i=1,2,...,n)
xi−m0
(i=
1,2,
...,
n)中有多少正負符號，即可利用二項分布的概率來計算p
pp值，進而判斷是否拒絕原假設。
wilcoxon符號秩檢驗
符號檢驗利用了觀察值和零假設的中位數之差的符號來進行檢驗，但是它並沒有利用這些差的絕對值大小所包含的資訊，不同的符號僅僅代表了在中位數的哪一邊，而差的絕對值的秩的大小代表了距離中心的遠近。如果把這兩者結合在一起，自然比僅僅利用正負號的數目要更有效。這也是馬上要引入的wilcoxon符號秩檢驗的宗旨，它把差的絕對值的秩分別按照不同的符號相加作為其檢驗統計量。
與符號檢驗不同，wilcoxon符號秩檢驗對資料總體分布有一點了解，它要求假定樣本點來自連續對稱總體分布，而符號檢驗不需要知道任何總體分布的性質。
wilcoxon符號秩檢驗的原理是這樣的，假定x1,
x2,.
..,x
nx_1,x_2,...,x_n
x1,x2
,..
.,xn
為來自連續對稱總體的乙個樣本,如果零假設為中位數m=m
0m=m_0
m=m0
, 則需要把∣xi
−m0∣
|x_i -m_0|
∣xi−m
0∣排序，得到∣xi
−m0∣
|x_i -m_0|
∣xi−m
0∣的秩，然後把xi−
m0
x_i-m_0
xi−m0
的符號加到相應的秩上面。於是，可以得到既有帶正號的秩，又有帶負號的秩.對帶負號的秩的絕對值求和.即把滿足xi−
m0
<
0x_i-m_0<0
xi−m0
<
0 的∣xi
−m0∣
|x_i -m_0|
∣xi−m
0∣的秩求和，並用w
−w^-
w−表示；類似地，對帶正號的秩的絕對值也求和，即把滿足xi−
m0
>
0x_i-m_0>0
xi−m0
>
0 的∣xi
−m0∣
|x_i -m_0|
∣xi−m
0∣的秩求和，並用w
+w^+
w+表示.如果m
0m_0
m0的確是中位數，那麼w
−w^-
w−和w
+w^+
w+應該大體上差不多。如果w
−w^-
w−或w
+w^+
w+過大或過小，則懷疑中位數m=m
0m=m_0
m=m0
的零假設. 令w=m
in(w
−,w+
)w=min(w^-, w^+)
w=min(
w−,w
+)，則當w
ww太小時，應該拒絕零假設，這個w
ww就是wilcoxon符號秩檢驗統計量。
我們現在有乙個樣本量為40的樣本(假設總體分布是對稱的)：
74.3 78.8 68.8 78.0 70.4 80.5 80.5 69.7 71.2 73.5
79.5 75.6 75.0 78.8 72.0 72.0 72.0 74.3 71.2 72.0
75.0 73.5 78.8 74.3 75.8 65.0 74.3 71.2 69.7 68.0
73.5 75.0 72.0 64.3 75.8 80.3 69.7 74.3 73.5 73.5
經過計算，樣本中位數為73.5，現在我做出如下零假設：
h 0:
m=74h
1:
m<
74h_0:m=74 \\h_1:m <74
h0:m=
74h1
:m<74
現在我用上面學過的兩種方法進行檢驗。
符號檢驗：
> pbinom(sum(new_data>74), 40, 0.5)
[1] 0.4373147
wilcoxon符號秩檢驗：
> wilcox.test(new_data, m=74, alternative = "less")
wilcoxon signed rank test with continuity correction
data: new_data
v = 360, p-value = 0.2527
alternative hypothesis: true location is less than 74
pp值要比符號檢驗的p
pp值小很多。所以，當資料來自對稱分布時，wilcoxon符號秩檢驗比符號檢驗效率要高。
引數檢驗與非引數檢驗
引數檢驗 parameter test 全稱引數假設檢驗，是指對引數平均值 方差進行的統計檢驗。引數檢驗是推斷統計的重要組成部分。當總體分布已知 如總體為正態分佈 根據樣本資料對總體分布的統計引數進行推斷。非引數檢驗 nonparametric tests 是統計分析方法的重要組成部分，它與引數檢驗...
Python KS檢驗以及其餘非引數檢驗的實現
4 其餘的非引數檢驗 5 參考 定義 檢驗乙個分布f x 與理論分布g x 比如正態分佈 是否一致，或兩個觀測值分布是否有顯著差異的檢驗方法 根據定義，ks檢驗可以分為兩大類 對應的原假設和備擇假設分別為 第一種 h0 指定數列服從特定分布 h1 指定數列不服從特定分布 第二種 h0 兩個數列分布一...
提高非引數檢驗功效的潛在方法
有 見參考資料 指出，某些小樣本情況下kolmogorov smirnov檢驗可能優於wilcoxon檢驗。嚴格來說，wilcoxon檢驗和ks檢驗的功效對比需多次重複模擬進行評估，此處不再贅述 見參考資料的 本文僅以乙個簡單的典型示例呈現。筆者根據wilcoxon的特點和ks檢驗的優勢 對分布敏感...