《劍指offer》中題14
給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段(m、n都是整數，n>1並且m>1)，每段繩子的長度記為k[0]，k[1]，...，k[m]。請問k[0] x k[1] x ... x k[m]。可能的最大乘積是多少?例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。
第一種解法：遞迴自頂向下解法
當第一次看到這個問題的時候第一反應的什麼呢？有點蒙，再細細想想這個問題。將一根繩子分為m段其乘積最大，m段必定有兩部分組成定為m1，m2，要想m段乘積最大，就需要保證m1段中的分割乘積是最大，同理m2也需一樣。先看下面圖，n第一次分割之後如下：
備註，第一行和下面組合不是兩個值直接相乘，而是拆分之後最大的值相乘，例如 m1 長度為 6， m2 長度 n-6，m1分割最大乘積是9（3*3）
最大的結果肯定為其中乙個組合，即：f(n) = max(f(i) x f(n-i))；同理 f(i)，f(n-i)又可以往下切割，直到最小單位位置，最小切割單位為 f(1) = 1，f(2) = 2， f(3) = 3。
分析完成腦海立馬想到的是遞迴解法，遞迴簡單易懂。
第二種解法：遞推自下而上解法
遞迴很好理解，但遞迴重複了大量計算，隨著n值增大，效率呈指數下降。遞迴是自頂向下，那有沒有自下而上的解法呢？
回顧一下斐波那契數列第二種解法，它是每次計算f(k)，f(k+1)的值，通過f(k)，f(k+1)可以求出f(k+2)，通過f(k+1)，f(k+2) 可以求出f(k+2)，一直到f(n)。
同理我們要求f(k) = max(f(i) x f(k-i))，我們需要提前記錄f(i)，f(k-i)最大的值，迴圈遍歷計算之後就能求出f(k)最大值，同理以此往下計算到f(n)為止就可以了
第三種解法：貪心解法（更像是數學推導的結果）
當 n >= 5 時，可以證明：2(n-2) > n && 3(n-3) > n。也就是說當繩子剩下的長度大於或者等於5的時候，我們可以將繩子剪成長度為 3 或 2。另外，當 n >= 5時，3(n-3) >= 2(n-2)，因此我們應該將可能多的剪成長度為3繩子段。
需要注意的是 第一種和第二種解法屬動態規劃，第三屬貪心演算法。後續會詳細講解。
多領悟裡面的思想。
#include #include // ********************動態規劃********************
// 解法一： 遞迴自頂向下解法
int maxproductsubset(int length)
int maxproductarr = ;
if (length < sizeof(maxproductarr) / sizeof(maxproductarr[0]))
int maxproduct = 0;
for (int i = 1; i <= length / 2; ++i)
return maxproduct;
}int maxproductaftercutting_solution1(int length)
int maxproductarr = ;
if (length < sizeof(maxproductarr) / sizeof(maxproductarr[0]))
int maxnum = 0;
for (int i = 1; i <= length / 2; ++i)
return maxnum;
}// 解法二： 遞推自下而上解法
int maxproductaftercutting_solution2(int length)
products[i] = max;
}max = products[length];
delete products;
return max;
}// ********************貪婪演算法********************
// 解法三： 貪心演算法
int maxproductaftercutting_solution3(int length)
// ********************測試**********************
void test(const char* testname, int length, int expected)
int result2 = maxproductaftercutting_solution2(length);
if(result2 == expected)
std::cout << "solution2 for " << testname << " passed." << std::endl;
else
std::cout << "solution2 for " << testname << " failed." << std::endl;
int result3 = maxproductaftercutting_solution3(length);
if(result3 == expected)
std::cout << "solution3 for " << testname << " passed." << std::endl;
else
std::cout << "solution3 for " << testname << " failed." << std::endl;
}void test1()
void test2()
void test3()
void test4()
void test5()
void test6()
void test7()
void test8()
void test9()
void test10()
void test11()
int main(int agrc, char* ar**)
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