動態規劃與貪心演算法 剪繩子問題

問題：

給你一根長度為n繩子，請把繩子剪成m段（m、n都是整數，n>1並且m≥1）。每段的繩子的長度記為k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]*k[1]*…*k[m]可能的最大乘積是多少？例如當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到最大的乘積18。

求解：

1.動態規劃

求乙個問題的最優解（最大值或最小值），而且該問題能夠分解成若干子問題，並且子問題之間還有重疊的更小的子問題，可以考慮動態規劃

（1） 分析是否能把大問題分解成小問題

（2） 分解後的每個小問題存在最優解

（3） 小問題的最優解組合起來能得到整個問題的最解

2.貪心演算法求解：

每一步都可以做出乙個貪婪的選擇，基於這個選擇，確定能夠得到最優解

1． 貪心演算法在對問題求解時，不從整體最優上加以考慮，他所做出的是在某種意義上的區域性最優解

2． 選擇的貪心策略必須具備無後效性，即某個狀態以前的過程不會影響以後的狀態，只與當前狀態有關

3． 題目貪心策略：當n>=5時，盡可能多地剪長度為3的繩子；當剩下的繩子長度為4時，把繩子剪成兩段長度為2的繩子

1.首先用動態規劃遞迴實現，動態規劃實際上就是用空間效率換時間效率的一種做法：

public

class
test 
//長度為2時,要求剪下段數m>1,所以最大是1x1=1 
if(n==2)
//長度為3時,要求剪下段數m>1,所以最大是1x2=2
if(n==3) 
//儲存長度從 0-n 的最大結果
int result=new
int[n+1];
result[0]=0;
result[1]=1;
result[2]=2;
result[3]=3;
//自底向上開始求解
int max=0;
for(int i=4;i<=n;i++)
//更新表中的f(i)=max(f(j)·f(i-j))
result[i]=max;}}
max=result[n];
return
max;
}}

2.採用貪心演算法得到最優解：

public

static
int getmaxvalue(int
n) 
if(n==2) 
if(n==3) 
//先求出長度為3的段一共有多少段
int countofthree=n/3;
//再看除了長度為3的段，還剩下多少公尺，如果還剩1公尺則表示有(n-1)個3和乙個4，
//所以要把上一步算出來的3的個數減1，把最後的4剪成兩段長度為2的繩子
if(n-countofthree*3==1)
//當剩下的繩子長度為4時，把繩子剪成兩段長度為2的繩子
int countoftwo=(n-countofthree*3)/2;
//計算所有的3的countofthree次方，再乘以剩下2的countoftwo次方
return (int) ((math.pow(3, countofthree))*(math.pow(2, countoftwo)));
}

剪繩子（動態規劃 貪心演算法）

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