十七世紀的常用對數表是怎麼算出來的
前不久，在網上看到了金澤長街小牛先生的博文
《回到十七世紀，讓我來編算一本常用對數表》
，受益匪淺。在我上中學時，也曾對數學用表中的對數和三角函式值是怎麼算出來的感到好奇，但始終不得其解。中學時學的是四位對數表，後來也見到過八位對數表和十位對數表，但看不懂，不會用。讀過小牛先生的文章後，不僅知道了對數表是怎麼算出來的，也豁然明白八位對數表是怎麼回事了。受小牛先生博文啟發，我也想到了一種更為簡單精確的計算常用對數表的方法，不用手算開高次方，只需加減乘除開平方，就可以編制出常用對數表，這裡介紹出來，與大家分享。
第一步、計算第一組基礎對數
這組基礎的對數值是：1/2， 1/4， 1/8， 1/16， 1/32， 1/64， 1/128， 1/256， 1/512， 1/1024， 1/2048，
1/4096， 1/8192共13個。
計算的方法很簡單，就是不斷開平方。
在常用對數裡，10的對數是1，把10開平方就得到對
數1/2的真數值，即√10，把計算結果再開平方就得到對數1/4的真數值，把計算結果再開平方就得到對數1/8的真數
值，把計算結果結果再開平方就得到對數1/16的真數值，......一直進行下去，等開到1/8192就可以了。有這13個基
礎對數值，算8位對數表就夠了，如果想要更精確的對數表，可以再多算幾個基礎對數，這裡就不討論了。
開平方是簡單的運算，列豎式就可以開出來，開12位有效數字一般不會超過半小時，計算這13個基礎對數乙個人幾小
時就可以完成。有了這組基礎對數，就可以通過把若干個基礎對數相加的方式，計算出從1/8192，
2/8192，3/8192，......8191/8192的任何乙個對數，這8191個對數在0.0000～1.0000之間均勻分布。
第二步、計算第二組基礎對數
這第二組基礎的對數值是：0.5， 0.1， 0.05， 0.01， 0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001共八個。
0.5即1/2，在第一組基礎對數中就有；0.1=819.2/8192，介於819/8192與820/8192之間，其中
819/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+2/8192+1/8192
=1/16+1/32+1/256+1/512+1/4096+1/8192
對數相加，真數需相乘，將式中這6個基礎對數對應的真數值相乘就可以得到819/8192的真數值。
820/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+4/8192
=1/16+1/32+1/256+1/512+1/2048
將式中這5個基礎對數對應的真數值相乘就可以得到820/8192的真數值。
819/8192與820/8192之間的間距僅有1/8192，非常小，可以近似當成直線處理，在算出對數819/8192和820/8192的真數值後，通過「線性
內插法」就可以算出對數819.2/8192即0.1對應的真數值。如擔心多次相乘以及做線性內插時導致誤差積累增大，可
以把對數0.1的真數值累乘計算5次方，看與0.5的真數值能否對得上，如有誤差，用開方公式做修正，消除誤差。由於
這樣的計算本身已經很精確，誤差修正的工作不會太費事。
得到對數0.1的真數值後，將之開平方就得到對數0.05的真數值。
然後，0.01=81.92/8192，分別計算出對數81/8192和82/8192的真數值，再用「線性內插法」計算出對數0.01的真數
值，當然，也要做誤差修正。
同樣的方法，可以計算出對數0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001的真數值。
在算出這一組8個基礎對數之後，就可以計算編制反對數表了。
第三步、計算編制反對數表
用對數做乘、除、乘方、開方運算得到的對數值，最終都要通過查反對數表才能得到真數，所以，反對數表是遲早
必須要編的，而反對數表在計算方法上沒有障礙，所以應該首先計算編制。有反對數表之後，再計算對數表就容易
多了。
有了對數0.5和0.1對應的真數值，就可以計算出從0.1，0.2，0.3，...0.9這9個對數對應的真數值了，這9個對數
構成的反對數表可以叫一級反對數表。計算的方法很簡單，就是對數相加，真數相乘，比如0.6的對數，對數
0.6=0.5+0.1，所對應的真數就是
3.162277660168*1.258925411794=3.98107170553...
有了對數0.05和0.01對應的真數值以及一級反對數表，很容易就可以計算出從0.01,0.02,0.03，...0.99這99個
對數對應的真數值，這99個對數構成的反對數表可以叫二級反對數表。計算的方法與前面相同，即對數相加，真數相乘。
有了對數0.005和0.001對應的真數值以及二級反對數表，就可以計算出從0.001,0.002,0.003，...0.999這999個
對數對應的真數值，這999個對數構成的反對數表可以叫**反對數表。計算的方法與前面相同。
有了對數0.0005和0.0001對應的真數值，就可以計算出從0.0001，0.0002，0.0003，...0.9999這9999個對數對應
的真數值了，這9999個對數構成的反對數表可以叫四級反對數表。有四級反對數表應該就夠了。要計算編制包含
99999個對數的五級反對數表不是做不到，而是有沒有必要，值不值得做。
編制時要先完成一級反對數表，然後再擴充到二級反對數表、**反對數表、四級反對數表，不要用很小的對數
累乘得到大的對數，以避免誤差累積增大。
這樣計算出的反對數表非常齊整，而且精確度有充分保證。
擴充計算對數表只用兩數相乘，不用除法。我覺得乘法比除法簡單，工作量小。比如兩個有10位有效數字的數相
乘，會得到乙個大約有20位的數字，但我們只要10位有效數字，後面的那些位數都要捨去，既然不需要，為什麼要乘
出來？所以在列豎式相乘時，那些注定不會加到前12位的數字，主要是乘數的後幾位與被乘數的後幾位相乘的數字，
根本就別乘，直接畫0補位，只要前12位，多出的兩位用於四捨五入，故而乘法可以減少計算量。
在編制反對數表過程中已經可以多找人手分攤工作量了。以前在書上看到過去有「製表工人」一說，應該是指專門從
事計算製表的工作人員，如果是職業熟練工人，那應該會掌握很多計算技巧，計算速度也會快過常人，以我估計的計
算量，如果有幾十人同時工作，兩三周做出反對數表應該沒問題。
第四步，計算給定真數的對數值，編制常用對數表
在有了反對數表之後，再計算編制常用對數表就好辦了，而且精確度***。方法就是「線性內插法」。以求2
的對數為例，在反對數表裡可以查到，對數0.3010對應的真數是1.9998618696，對數0.3011對應的真數是
2.0003224078，那就在0.3010和0.3011之間做線性內插，求2的對數值，由於1.9998618696與2.0003224078的
間距非常微小，所以得到的2的對數值也必是非常精準的。
從1.001～9.999之間的所有數都可以用這種「線性內插」法算出，用這8999個數就可以編制出乙個完整的常用對
數表，而且精度極佳，只不過要計算8999個資料，計算量頗大。
如果先算出那些質數（即素數）的對數，合數的對數由其質因子的對數相加而得到，計算量就可以大幅減少。
10000以內的質數僅有1229個，而且那些較大的質數，其對數可以用兩對數平均值算出，例如8663是個素數，在
算出8662和8664這兩個數的對數後，8663的對數就是8662和8664這兩個數的對數的平均值。平均值計算實際也是
「線性內
插」，但
要簡單得多，真正需要用比較麻煩的「線性內插」計算的質數只有幾百個，合數的對數由其約數的對數相加
得到，這種製表方法計算量要少一些，但精度也要稍遜一些。總的來說，編制對數表要比反對數表計算量要少一些。
編制八位常用對數表和反對數表，計算量巨大，個人很難獨力完成，如果有幾十個人分工合作，一兩個月製出常
用對數表和反對數表，應該不算什麼大問題。
計算編制常用對數表的工作也一樣可以找多人分擔，以加快速度。
對數函式不是直線函式，做線性內插必會有誤差，誤差大小決定於插值區間大小，區間越小，誤差也越小。若想要更精確的對數表，我認為應該多增加算幾個基礎對數，盡量減小插值區間。第二組基礎對數值必須進行檢驗，消除誤差。
上面就是我對常用對數表計算方法的思考。時隔幾百年，十七世紀的常用對數表究竟是不是這樣算出來的，有沒有更好的方法就不知道了。以我的看法，本文敘述的方法已經足夠簡單精確了，沒有技術障礙，若組織好了，即便是一些中學生也能完成這樣的計算編制工作。
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