異或運算的應用

異或的運用

unique-you 2018-03-22 13:31:36 1654 收藏 16

展開異或是一種基於二進位制的位運算，用符號xor或者 ^ 表示，其運算法則是對運算子兩側數的每乙個二進位制位，同值取0，異值取1。它與布林運算的區別在於，當運算子兩側均為1時，布林運算的結果為1，異或運算的結果為0。

異或的性質：

1、交換律：a^b = b^a；

2、結合律：(a^b)^c = a^(b^c)；

3、對於任意的a：a^a=0，a^0=a，a^(-1)=~a。

了解了上面這些，來看看這個，很重要，後面的程式都要用到這個結論：

對於任意的a，有a^b^c^d^a^k = b^c^d^k^(a^a) = b^c^d^k^0 = b^c^d^k，也就是說，如果有多個數異或，其中有重複的數，則無論這些重複的數是否相鄰，都可以根據異或的性質將其這些重複的數消去，具體來說，如果重複出現了偶數次，則異或後會全部消去，如果重複出現了奇數次，則異或後會保留乙個。

下面來看三道題目：

1、1-1000放在含有1001個元素的陣列中，只有唯一的乙個元素值重複，其它均只出現一次。每個陣列元素只能訪問一次，設計乙個演算法，將它找出來；不用輔助儲存空間，能否設計乙個演算法實現？

當然，這道題，可以用最直觀的方法來做，將所有的數加起來，減去1+2+3+...+1000的和，得到的即是重複的那個數，該方法很容易理解，而且效率很高，也不需要輔助空間，唯一的不足時，如果範圍不是1000，而是更大的數字，可能會發生溢位。

我們考慮用異或操作來解決該問題。現在問題是要求重複的那個數字，我們姑且假設該數字式n吧，如果我們能想辦法把1-1000中除n以外的數字全部異或兩次，而數字n只異或一次，就可以把1-1000**n以外的所有數字消去，這樣就只剩下n了。我們首先把所有的數字異或，記為t，可以得到如下：

t = 1^2^3^4...^n...^n...^1000 = 1^2^3...^1000（結果中不含n）

而後我們再讓t與1-1000之間的所有數字（僅包含乙個n）異或，便可得到該重複數字n。如下所示：

t^(a^2^3^4...^n...^1000) = t^(t^n) = 0^n = n

2、乙個陣列中只有乙個數字出現了一次，其他的全部出現了兩次，求出這個數字。

明白了上面題目的推導過程，這個就很容易了，將陣列中所有的元素全部異或，最後出現兩次的元素會全部被消去，而最後會得到該只出現一次的數字。

該題目同樣可以該為如下情景，思路是一樣的：陣列中只有乙個數字出現了奇數次，其他的都出現了偶數次。

3、問題：乙個1~n的自然數的亂序陣列，其中缺失了1到n之間的某個數，如何快速找出這個數？

當n不太大時，可以考慮求和。先算出1~n的所有數的和，然後減去陣列**現的所有自然數的和。時間複雜度為o(n)，空間複雜度o(1)。這種方法的缺點是n不能太大，n比較大時，求和容易溢位。

用位圖。從頭到尾的掃瞄整個陣列，把出現的數相應的位設定為1.然後再掃瞄位圖，找出不為1的那一位，即為要找的數。這種方法的時間複雜度為o(n),空間複雜度為o(n)。

可以把1~n的所有數異或，再把陣列**現的所有數異或，然後再把這兩個異或的結果異或，最後得到的值即為我們要找的值。這樣時間複雜度為o(n),空間複雜度為o（1）。在空間上比第二種方法要好，而且不會出現第一種方法中所說的溢位問題。

1.乙個整形陣列，存1到n的所有整數，但預設乙個值，找出此值。

先求1到n的異或，再和陣列中所有數異或，結果就是要找的值。

2.乙個整形陣列除乙個數隻出現一次外，其餘的都出現2次，求這個數

陣列中所有值進行異或即可。

3.乙個整形陣列除兩個數隻出現一次外，其餘的都出現2次，求這兩個數。

若求所有數的異或，得出的是那兩個數的異或值，這樣沒法分出兩數。

有兩種方法：（1）不同的兩個數進行異或，肯定有至少1位為1。比如，這兩個數的二進位制為1101和0001，異或結果為1100。那麼找出這個1，就可以把整個陣列分為兩部分，再利用2中的方法一一找出。

public static void findtwonumber(int a)    
int bit = 1; // 從最低位，即0001開始找
while (true) 
else 
}int re1 = 0; 
int re2 = 0;
for (int i = 0; i < a.length; i++) else 
}system.out.println(re1 + " " + re2);
}

（2）將所有數異或，得出的值為a^b，再一一和陣列中的值進行異或，得出的每個值存入乙個list，由於兩個數之外的值出現兩次，判斷陣列中若已存在此值，將其刪掉，最後list中就只有兩個值，即為a與b

public static void findtwonumber(int a) 
listlist = new arraylist();
for (int i = 0; i < a.length; i++) else 
}system.out.println((list.get(0)) + " " + (list.get(1)));
}

5.乙個整形陣列除3個數只出現一次外，其餘的都出現2次，求這3個數。

將所有數異或，得出的值sum為a^b^c，再一一和陣列中的值進行異或，得出的每個值存入乙個list。將出現兩次的值刪掉，最後list中就只有三個值：a^b，a^c，b^c，三值與sum異或，即得c，b，a三個數。同理可求4個或更多出現一次的數。

public static void findthreenumber(int a) 
listlist = new arraylist();
for (int i = 0; i < a.length; i++) else 
}system.out.println((sum ^ list.get(0)) + " " + (sum ^ list.get(1)) + " " + (sum ^ list.get(2)));
}

6.leetcode389.find the difference

string s 和 string t僅含小寫字母字元，其中t是s的重排且加了乙個字元，找到那個新加入的字元。題意示例：

input:

s = "abcd"

t = "abcde"

output:

對s和t的每個字元異或。

public static char findthedifference(string s, string t) 
for (int i = 0; i < t.length(); i++) 
return a;
}

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