n個直線 平面 折線能把平面 空間分成幾部分？

首先考慮 n條直線最多把平面分成an部分

於是a0=1 a1=2 a2=4

對於已經有n條直線 將平面分成了最多的an塊

那麼加一條直線 他最多與前n條直線有n個交點 於是被它穿過的區域都被一分為二 那麼增加的區域數就是穿過的區域

數 也就是這條直線自身被分成的段數 就是n+1 故 a(n+1) = an+n+1

an = n+(n-1)+…+2+a1 = n(n+1)/2 +1

於是b0=1 b1=2 b2=4

對於已經有n個平面 將空間分成了最多的bn塊

那麼加入乙個平面 它最多與每個平面相交 在它的上面就會得到至多n條交線

同時被它穿過的空間區域也被它一分為二 那麼增加的區域數仍舊是它穿過的區域數 也就是這個平面自身被直線分割

成的塊數 就是an

於是b(n+1)=bn+an

bn=a(n-1)+b(n-1)=…=a(n-1)+a(n-2)+…+a1+b1

=(n-1)n/2 +(n-2)(n-1)/2+…+1*(1+1)/2+n+2

=求和[1方到(n-1)方]/2 + 求和[1到(n-1)]/2 +n+1

=n(n-1)(2n-1)/12 +n(n-1)/4 +n+1

=n(n+1)(n-1)/6 +n+1

=(n^3+5n+6)/6

an = (n*(n+1)/2+1) * (n^3+5n+6)/6

= (n^5+n^4+7*n^3+11*n^2+16*n)/12+1

故：

f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1) 
=2n^2-n+1

直線，折線，曲線分割平面以及平面分割空間問題

註明出處，摘自 1 n條直線最多分平面問題 題目大致如 n條直線，最多可以把平面分為多少個區域。析 可能你以前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。但乙個型別的題目還是從簡單的入手，才容易發現規律。當有n 1條直線時，平面最多被分成了f n 1 個區域。則第n條直線要是切成的區域數最多，就必須與...

關於直線 折線分割平面，平面的分割空間問題

1 n條直線最多分平面問題 題目大致如 n條直線，最多可以把平面分為多少個區域。析 可能你以前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。但乙個型別的題目還是從簡單的入手，才容易發現規律。當有n 1條直線時，平面最多被分成了f n 1 個區域。則第n條直線要是切成的區域數最多，就必須與每條直線相交且不...

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