理解浮點數的二進位制表示

二進位制的科學計數法

浮點數的二進位制表示

符號位、尾數和指數（以64位浮點數為例）

0、規約數和非規約數

無窮大和空值nan

浮點數在電腦中用二進位制儲存，約定以二進位制的科學計數法來進行表示乙個浮點數，模擬十進位制的科學計數法，很容易知道，二進位制的科學計數法的首位數字一定為1，然後通過乘以相應的底數為2的指數來得到二進位制數，如下所示。

下面等號左邊是原二進位制數，右邊就是其二進位制的科學計數表示。和十進位制一樣，二進位制的科學計數表示之後，也具有有效數字（尾數）、底數和指數，只是二進位制的有效數字由0和1組成，底數為2。

所以，浮點數的二進位制表示包括符號、尾數和指數。比如對於32位浮點數來說，1位符號位、23為尾數字和8位指數字；對於64位浮點數來說，1位符號位、52位尾數字和11位指數字。尾數以二進位制的科學計數法約定表示，因為對於所有約定的規約數來說，首位都是1，所以首位的1會被預設省去，所以對於64位浮點數，其有效精度可以達到二進位制的53位；指數的底數為2，由於為了表示小數，故指數也有正負，為了表示負數，所以指數通過移碼的方式進行轉化。

以64位浮點數為例，如下所示。從0-63共有64個bit，其中首位用來表示符號，0為正，1為負。接下來11位bit用來儲存指數，剩下的52位用來儲存尾數。

符號位很簡單，就是約定0表示正，1表示負。對於尾數，其有52位bit，但是根據二進位制的科學計數法，首位都為1，因此我們可以省略掉這個1，這樣子52位都可以用來儲存尾數的小數部分，因此實際上52位尾數小數的有效尾數有共有53位，只是首位的1被省略了。對於指數，有11bit，但是為了表示負數，採用二進位制指數值-偏移量的計算方式得到計算中的指數值；比如64位的指數偏移量約定為1023，11bit可以表示的值的範圍為0~2047的整數，但是這裡真正被用作指數計算的只有1~2046，0和2047這兩個數字被剔除，以用來表示特殊值，這個文章後面再說明；因此，1~2016減去偏移量1023後，真正的指數取值範圍為-1022~1023。所以64位浮點數的具體的二進位制表示方式如下。

so far so good! 問題來了，怎麼表示0？由於上述定義中，尾數始終是大於1的，所以無論如何也無法得到0，因此0這個需要特殊定義。根據上述的定義，即指數範圍在1~2046之間，有效數字首位為1的浮點數，叫做規約數（normal numbers）。同時還注意到，上述在講指數的時候，有兩個值是沒有用到的，即0和2047，對應著指數部分11個bit分別全部為0和全部為1的情形。所以為了表示0，約定當指數部分全部為0，且尾數小數部分也全為0的時候，表示0；要注意的是，雖然本文這裡說的是尾數的小數部分全為0，但是實際上這時，首位隱藏的1變成了0。

接下來的問題是，如果指數部分全為0，但是尾數的小數部分不全為0，這時該表示什麼？因為對於規約數的定義，我們研究指數部分的值在1~2046之間，而指數為0時，就超出了規約數定義的範圍了，因此，當指數為0，但是尾數小數部分不全為0時，我們定義這樣的數為非規約數（denormal numbers or subnormal numers）。要注意的是，非規約數的指數一定是為0的，但是這時偏移量變成了1022；即當指數為0時，那麼不僅尾數首位隱藏值從1變成0，而且約定偏移量這時為1022，即移碼後的指數依然保持-1022不變（注意不是-1023），以該移碼後的指數（即-1022）去計算非規約數的大小。

至此，我們還有乙個數沒有說明，那就是指數的2047，即指數全為1時的情形。我們約定，當指數全為1，且尾數小數部分全為0時，表示無窮大，然後根據符號的不同，有正無窮大和負無窮大。但是當指數全為1，但是尾數的小數部分不全為0時，表示什麼呢？這樣的數字實際上是未定義的，所以約定其為nan（not a number），所以可知，實際上nan的情形是很多的，在對nan進行比較時，系統約定其是不相等的，因為我們不能通過等號來判斷nan值，由於nan實際上也有有二進位制表示的，所以其不是乙個空物件，也不能用是否為空物件來判斷；這也是為什麼pandas中判斷乙個值是否為nan需要使用規定的函式，不能直接使用等號判斷和空物件判斷的原因，具體的pandas中的判斷方式可以看這篇文章。

理解浮點數的二進位制表示

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