面試題42 連續子陣列的最大和

題目描述：

輸入乙個整型陣列，陣列裡有正數也有負數。陣列中的乙個或連續多個整數組成乙個子陣列。求所有子陣列的和的最大值。

要求時間複雜度為o(n)。

示例1:

輸入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

輸出: 6

解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

1 <= arr.length <= 10^5

-100 <= arr[i] <= 100

注意：本題與主站 53 題相同：

個人思路：

這道題描述了乙個最優化問題，因此可以考慮是否滿足動態規劃（dynamic programming，dp）的解題要求。

一般可以應用動態規劃求解的問題具有以下幾個特點（總結自《劍指offer》）：

該問題是求解乙個最優化的問題，例如最大值、最小值等。

該問題的最優解依賴於一些子問題的最優解，這些子問題由整體問題分解而來。（這裡的依賴關係以狀態轉移方程來描述）

這些子問題之間還存在相互重疊的更小的子問題。（dp演算法正是利用了子問題的重疊性，重複利用之前計算的結果，從而降低計算量，提高程式的執行效率）

從上往下分析問題，從下往上求解問題。

對比以上特點，可以發現本題可以使用動態規劃進行求解。下面需要完成dp的三個重要設定——狀態定義、初始化以及狀態轉移。

狀態定義：其實也就是需要設定我們想要求解的子問題，或者說我們想要記錄的一些資料。狀態定義可以有很多種，很多題目多種狀態定義都可以得到正確的結果，狀態定義無非是為了後續方便寫出狀態轉移方程，一般而言題目待求解的問題即可作為狀態定義，但也有例外，例如本題。本題要求我們求解乙個陣列中的所有子陣列的最大和。（這裡我們需要區分子陣列與子串行的區別：子陣列要求各個數相鄰，可以看做是原陣列的乙個切片；而子串行不要求各個數相鄰，只需要保證各個數的相對位置不變即可，可以看做是原陣列一系列切片的組合。）假設我們定義狀態為:dp[i] 代表陣列nums[:i+1]中子陣列的和的最大值，此時最終我們只需輸出dp[-1]即為原問題的結果。但是這種狀態定義使得我們很難去描述狀態轉移方程，因為問題要求求解的是子陣列，我們難以直接判斷nums[i]是否是最優解dp[i]的乙個貢獻者，此時對於nums[i+1]難以直接與dp[i]進行關聯。因此，我們不妨設定狀態為：dp[i]表示以nums[i]結尾的陣列中子陣列的和的最大值，從而方便我們定義狀態轉移。

初始化：dp問題中合理的初始化有利於統一邊界判斷，減少**量以及出錯的情況。本題最基礎的情況就是乙個數的陣列，因此可以相應進行初始化，具體可見後續**。

狀態轉移：牢記我們的狀態定義（dp[i]表示以nums[i]結尾的陣列中子陣列的和的最大值），就不難寫出狀態轉移方程了：dp[i+1] = max(nums[i+1], dp[i] + nums[i+1])

再完成以上設定後，即可編寫**了。我覺得dp問題中，最重要的就是狀態定義，一旦狀態定義完成了，一切（初始化以及狀態轉移）都可以圍繞其構建完成，一般狀態定義就可以定義為原問題的簡單子問題即可。

具體**如下：

class solution:
def maxsubarray(self, nums: list[int]) -> int:
if not nums:
return -1
# dp表示以當前元素結尾的子陣列的最大和
dp = [nums[0]] * len(nums) # 狀態定義以及初始化
# dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]) 狀態轉移方程
for i in range(1, len(nums)):
dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])
return max(dp) # 根據狀態定義求解最終原問題的結果

面試題42 連續子陣列的最大和

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