–中國大學生mooc 王巨集志老師大資料演算法 聽課筆記–
亞線性水庫抽樣是一種經典的亞線性空間演算法。
問題背景：
有時候我們需要在海量資料中進行均勻的抽樣，但是由於海量資料無法進行儲存，所以我們只能讓它從我們面前流過一次。
問題描述：
輸入：一組資料，其大小未知
輸出：這組資料的k個均勻抽樣
要求：僅掃瞄資料一次
空間複雜性為o(k) 和抽樣大小有關，和整個資料無關
掃瞄到資料的前n個數字時（n>k），儲存當前已掃瞄資料的k個均勻抽樣
演算法步驟：
申請乙個長度為k的陣列儲存抽樣。
儲存首先接收到的k個元素
當接收到第i個新元素t時，以k/i的概率隨機替換a中的元素(即生成[1,i]間隨機數j，若j<=k，則以t替換a[j])
演算法原理：
當接收到第i個新元素t時，以k/i的概率儲存在水庫中，所以在接收第i+1個數時，第i個數還能儲存在水庫當中的概率是1-1/(i+1)，因為在接收到第i+1個數時要以k/(i+1)的概率隨機替換，而第i個數被選中的概率是1/k，它們相乘即為1/(i+1)。1/(i+1)為第i個元素被換出水庫的概率，所以1-1/(i+1)就是在接收第i+1個元素時第i個元素在陣列中的概率。同理，在接收第i+2個元素時，第i個元素讓然保留在水庫中的概率為1-1/(i+2)。以此類推，當接收第n個元素時，第i個元素儲存在水庫中的概率為1-1/n。只有這些事件都放生了，最終第i個元素才能保留在水庫當中。因此第i個元素最終被保留在水庫抽樣當中的概率，就是這些事件的概率的乘積，即
演算法偽**：
init : a reservoir with the size： k
for i= k+1 to n
m=random(1, i);
if( m < k)
swap the mth value and ith value
end for
【注釋】：在圖論中，平面圖是可以畫在平面上並且使得不同的邊可以互不交疊的圖。
【注釋】：近似演算法是電腦科學中演算法研究的乙個重要方向。所謂「近似」，就是指結果不一定是最優的，但是也在可以承受的範圍內，而且可以比精確求解消耗更少的資源。
問題背景：
當輸入的距離矩陣過大時，我們無法通過正常的演算法對其進行求解。所以我們希望通過近似演算法對其求得乙個盡量相似的解。
問題描述：
輸入：m個頂點的平面圖，任意兩點之間的距離儲存在矩陣d中，即點i到點j的距離為dij
輸入大小是n=m的平方
最大的dij是圖的直徑
點之間的距離對稱且滿足三角不等式
輸出：該圖的直徑和距離最大的dij
要求：執行時間為o(n)
演算法步驟：
任意選擇k<=m
選擇使得dkl最大的l
輸出dkl和(k, l)
演算法原理：
根據三角不等式，我們可以得到dij <= dik + dkj，又因為dkl是我們所求最大值，所以有dik <= dkl,dkj <= dkl.可以得到dij <= dkl+dkl <= 2dkl。得到近似比2。
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