378 有序矩陣中第K小的元素

題目：給定乙個 n x n 矩陣，其中每行和每列元素均按公升序排序，找到矩陣中第 k 小的元素

思路及演算法

由題目給出的性質可知，這個矩陣的每一行均為乙個有序陣列。問題即轉化為從這 n 個有序陣列中找第 k 大的數，可以想到利用歸併排序的做法，歸併到第 k 個數即可停止。

一般歸併排序是兩個陣列歸併，而本題是 n 個陣列歸併，所以需要用小根堆維護，以優化時間複雜度。

public
intkthsmallest2
(int
matrix,
int k)})
;int n = matrix.length;
for(
int i =
0; i < n; i++))
;}//維護最左側的一列最小值候選人，當有序佇列彈出7個最小值，此時佇列中的最小值即為所求
for(
int i =
0; i < k -
1; i++))
;}}return pq.
poll()
[0];
}

時間複雜度：o(klogn)，歸併 k 次，每次堆中插入和彈出的操作時間複雜度均為logn。

空間複雜度：o(n)，堆的大小始終為 n。

其實解決這個問題的關鍵，在於維護一組「最小值候選人」

在整個矩陣中，每次彈出矩陣中最小的值，第k個被彈出的就是我們需要的數字。

現在我們的目的很明確：每次彈出矩陣中最小的值。你需要保證最小值必然從這組候選人中產生，於是每次只要從候選人中彈出最小的乙個即可。

我們來選擇第一組候選人，在這裡可以選擇第一列，因為每乙個數字都是其對應行的最小值，全域性最小值也必然在其中。然後使用prorityqueue有序佇列來儲存這一組候選人，就能保證每次從佇列中彈出的都是候選人中的最小值。

例：選取以下矩陣，開始的候選人為第一列，然後每次選擇候選人中的最小值彈出，然後被彈出的那一行的候選人右移以為記得到該行新的候選人，當某一行的值彈完後將候選人佇列中長度減1即可，知道彈出第k-1個值，此時最小值佇列的值即為所求第k小的值。

步驟如下圖所示：

思路及演算法

由題目給出的性質可知，這個矩陣內的元素是從左上到右下遞增的（假設矩陣左上角為 matrix[0][0]）。以下圖為例：

我們知道整個二維陣列中 matrix[0][0] 為最小值，matrix[n−1][n−1] 為最大值，現在我們將其分別記作 l 和 r。

可以發現乙個性質：任取乙個數 mid 滿足l≤mid≤r，那麼矩陣中不大於 mid 的數，肯定全部分布在矩陣的左上角。

例如下圖，取 mid=8：

我們可以看到，矩陣中大於 mid 的數就和不大於 mid 的數分別形成了兩個板塊，沿著一條鋸齒線將這個矩形分開。其中左上角板塊的大小即為矩陣中不大於 mid 的數的數量。

我們只要沿著這條鋸齒線走一遍即可計算出這兩個板塊的大小，也自然就統計出了這個矩陣中不大於mid 的數的個數了。

走法演示如下，依然取 mid=8：

可以這樣描述走法：

1、初始位置在 matrix[n−1][0]（即左下角）；

2、設當前位置為 matrix[i][j]。若 matrix[i][j]≤mid，則將當前所在列的不大於 mid 的數的數量（即 i+1）累加到答案中，並向右移動，否則向上移動；

3、不斷移動直到走出格仔為止。

我們發現這樣的走法時間複雜度為 o(n)，即我們可以線性計算對於任意乙個 mid，矩陣中有多少數不大於它。這滿足了二分查詢的性質。

不妨假設答案為 x，那麼可以知道 l≤x≤r，這樣就確定了二分查詢的上下界。

每次對於「猜測」的答案 mid，計算矩陣中有多少數不大於mid：

如果數量不少於 k，那麼說明最終答案 x 不大於 mid；

如果數量少於 k，那麼說明最終答案 x 大於 mid。

這樣我們就可以計算出最終的結果 x 了。

public
intkthsmallest3
(int
matrix,
int k)
else
}return left;
}//判斷數量是否大於k
public
boolean
check
(int
matrix,
int mid,
int k,
int n)
else
}return num >= k;
}

時間複雜度：o(nlog(r−l))，二分查詢進行次數為 o(log(r−l))，每次操作時間複雜度為 o(n)。

空間複雜度：o(1)。

public
intkthsmallest
(int
matrix,
int k)
} arrays.
sort
(sorted)
;return sorted[k-1]
;}

時間複雜度：o(n^2logn)，對 n^2個數排序。

空間複雜度：o(n^2)，一維陣列需要儲存這 n^2個數。

暴力法容易理解，就是直接先把二維陣列轉換為一維陣列，然後對該一維陣列排序（呼叫arrays.sort()函式即可），然後排序後陣列中下標為k-1的值即為所求，但是這種方法沒有用到有序陣列的性質，而且新產生了乙個n*n的一維陣列，所以時間和空間複雜度都很高。

其它方法自行檢視leetcode官方題解。

參考：leetcode題解1

leecode官方題解

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