簡析二進位制補碼原理補碼反碼 1？

在計算機系統中，規定數值一律用補碼來表示和儲存。因為使用補碼可以將符號位和數值域統一處理；同時，加法和減法也可以統一處理。

很多人很好奇為什麼要使用補碼表示和儲存？直接使用原碼表示多好，看上去更加直觀和易於計算。

那麼，為什麼計算機使用補碼比原碼更好，又是如何通過補碼來計算數值的呢？這其中的原理是什麼？

補碼的定義：正數的補碼與原碼相同。負數的補碼，將其原碼除符號位外的所有位取反（0變1，1變0，符號位為1不變）再+1，即為負數的反碼+1。

要了解補碼首先要了解「模」，模是補碼的基礎，「模」是指乙個迴圈週期的最大值，當超過這個最大值後就會開始新的週期，例如時鐘的乙個週期最大值是12，所以模就是12；一周的模是7天；一天的模是24小時。

補碼就是通過「模」將減法變加法，通過最形象的時鐘能最好理解：

假設當前時針指向8點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：一種是倒撥（逆時針旋轉）2小時：8-2=6；另一種是順撥（順時針旋轉）10小時：(8+10)%12=6，這樣就有(8-2)%12=(8+10)%12=6。

通過這個簡單栗子，可以看出在以12為模的系統（時鐘）裡，+10和-2效果是一樣的，因此凡是-2操作都可以用+10來代替，凡是+10操作都可以用-2來代替，所以對「模」而言，-2和+10互為補碼。

通過這個原理，我們還能得出還有-3和9、-4和8等等都互為補碼，觀察所有補碼規律，得出互為補碼的兩個值的絕對值之和等於模，

為什麼會這樣呢？簡單理解就是因為補碼補碼，就是要補的，要把數補滿到模。

有人可能會說，符號都不同乙個正乙個負，怎麼能補滿到模呢？

其實這裡就陷入了乙個認知誤區了，因為符號是人為定義的，符號的不同只是表示方向不同而已，你能從時鐘裡找到數值的正負號嗎？如果我把順時針定義為-，逆時針定義為+，那麼+2和-10一樣互為補碼，這有什麼區別嗎？

所以乙個負數的補碼等於模減去負數的絕對值：x = -y mod n = ( n - y )，而正數的模運算等於本身所以補碼等於本身。

繼續通過這個時鐘的栗子，我們再來看一下如何使用補碼進行運算：

1、8 + 8 = ( 8+8 )%12 = 4：8點順撥8個小時到4點。

2、6 - 11 = ( 6+ (12-11) )%12 = 7：6點倒撥11個小時到7點。

如果從數值計算來看，第二個例子的結果應該是-5，沒錯，這也是有無符號數的區別。

我們繼續使用時鐘舉例，時鐘是典型的無符號數，如果我們現在需要給時鐘的數值加符號，來表示正負數，應該怎麼辦才好？

首先因為要分正負數，所以時鐘數值應該對半分，正數的範圍為[1， 6]，負數的範圍為[-5，-1]，其中0即模12既不是正數也不是負數。

通過上面補碼的原理，7和-5、8和-4、9和-3、10和-2、11和-1互為補碼，所以我們就可以用7、8、9、10、11來表示-5、-4、-3、-2、-1，可以畫個時鐘來看一下。

本質上，時鐘的數值並沒有變，只是數值表示的含義變了。7在無符號數中表示7，在有符號數中表示-5，但在運算中都是用7來計算。這也是為什麼使用補碼符號位可以參與運算，因為符號位本身就是人為定義的，而數值本身並沒有改變，在運算中從來沒有考慮過符號位，僅用單純的加法運算進行運算。

使用補碼計算得到的也是補碼，所以第二個例子的結果是7（-5的補碼）是正確的。

為什麼負數原碼除符號位外逐位求反再+1，就可以得到其補碼？

我們首先來看反碼，1 + 0 = 1、10+01 = 11、101+010 = 111，通過最簡單的三個例子，我們可以知道任何一對反碼相加必然得到模下的最大值，但沒補滿到模，+1就剛好補到模。

為什麼符號位不取反？因為負數原碼就是在將正數原碼的符號位取反的結果，已經取反過一次了自然無需再取反了。

本文採用比較易懂的解釋來闡述補碼的原理，可能不嚴謹，多多見諒。

那看完本文的你們能解答下面的問題了嗎?

1、什麼是補碼？補了什麼？怎麼補的？

2、為什麼最高位為0的表示正數，最高位為1的表示負數？

3、為什麼符號位能夠參與運算？

4、為什麼正數的原反補碼都是它本身，而負數的補碼等於原碼的反碼+1？

注：本人水平有限，如果文中解釋有誤，希望能指出，或者有什麼建議可以一起**，共同進步。

參考文章

二進位制補碼計算原理詳解

原碼, 反碼, 補碼詳解

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