適用於「單點更新，區間求和」或者「區間更新，單點求和」。
假設有乙個陣列a，有兩種操作，1是更新某一項的值，2是查詢(l, r)區間的值，這是「單點更新，區間求和」。我們先看下面的。
從可以看到，
c[1] = a[1]
c[2] = c[1] + a[2] = a[1] + a[2]
c[3] = a[3]
c[4] = c[2] + c[3] + a[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]
有什麼規律嗎？
可以看到，（c[i]代表的是a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] ..... + a[i]的值），這裡的k代表i二進位制中"最後乙個1後面0的個數「，我們稱2^k為lowbit(i)
什麼是lowbit(i)呢。lowbit(i)表示的是「最後乙個1加」，如果有0加所有的0，如lowbit(5), 5的二進位制是101,最後1位是1，所以lowbit(5)等於1；再如lowbit(6)，二進位制是110，所以lowbit(6) = 2.
綜上所述，c[i]代表的值就為a[i - lowbit(i) + 1] + a[i - lowbit(i) + 2] + .... + a[i]，如c[4],4的lowbit為100，也即4本身，所以c[4] = a[4 - 4 + 1] + a[4 - 4 + 2] + ... + a[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4].
然後我們再給出一種求lowbit(i)的建議**:(這是利用計算機補碼的性質實現的）
int lowbit(int x)我們給出單點更新的**：（也即更新x點的數值，加上y，則每個包括x點值的c[i]都要更新）
update(int x, int y)
}
我們先想想求a[1] + a[2] + ... + a[n]的情況。如求1~8的和，則c[8]一步就給出了答案，如果求1~6的和，則只求c[4] + c[6]即可。我們先給出求1~x，這x個數的和的**：
ll query(int x)
return ans;
}
既然已經知道了如何求1~x的值，那麼如果想知道（l,r）區間的值，我們查詢1~r的值減去查詢1~（l - 1）的值，剩下的範圍不就是(l, r)的值了嗎？用**表示也即query(r) - query(l - 1).
我們比較一下計算複雜度，假如有a陣列有n個值，m次提問。則暴力計算區間和的時間複雜度為o(n)，總t(n) = o(nm)。如果用了樹狀陣列，用了二進位制的思想，查詢時間很快。相當於是log級別的。t(n) = o(mlogn)
暴力和樹狀陣列的空間複雜度都是o(n).
note:計算lowbit（i）時i不能為0，應該從1開始，因為如果i = 0 在update和query時會陷入死迴圈。（可以自己試一下效果）
模板題：下面有**參考）
例題：考慮「離散化」->「樹狀陣列」，可以看我的部落格：shuzhuangshuzu ）
這裡給出模板題的**，例題**:
#include #include using namespace std;
#define ll long long
ll c[500005];
int n, m, x;
int op, a, b;
//求"最後乙個1"加後面的0
int lowbit(int x)
//單點更新:x節點的值加y
void update(int x, ll y)
}//求1->x的值.若求(l,r)用query(r)-query(l-1)
int query(int x)
return ans;
}int main()
while (m--) else
}return 0;
}
a[1] = a[1] - a[0]
a[2] = a[2] - a[1]
a[3] = a[3] - a[2]
a[n] = a[n] - a[n - 1]
如果要更新(l, r)區間的值，如+ 3，則令a[l] += 3。a[r + 1] -= 3
如更新(1, 3)區間的值，則
a[1] = a[1] - a[0] + 3
a[2] = a[2] - a[1]
a[3] = a[3] - a[2]
a[4] = a[4] - a[3] - 3
則區間更新的**很容易：
//給定l, r, x,(l,r)代表範圍。x代表更新的值
a[l] += x;
a[r + 1] -= x;
a[1] = a[1]
a[1] + a[2] = a[2]
a[1] + a[2] + a[3] = a[3]
因此，如果要求a[k]，也就是求a陣列的前k項和，那麼這裡顯然要用到樹狀陣列了，查詢快。上面的單點更新是不影響a的計算的，不信的話，試一試，發現很神奇。查詢的**就是query(x)的**，與「單點更新，區間求和」的查詢**相同。但是注意查詢的是小a陣列的樹狀陣列，而不是大a陣列的樹狀陣列。
模板題：
例題**：
#include #include using namespace std;
int n, m;
int c[500005];
int lowbit(int x)
void update(int x, int y)
}int query(int x)
return ans;
}int main()
int opt, x, y, k;
while (m--) else
}return 0;
}
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