攝像機模型（內參外參）

下圖是針***機的基本模型。平面π稱為攝像機的像平面，點ococ稱為攝像機中心（或光心），f成為攝像機的焦距，ococ為端點且垂直於像平面的射線成為光軸或主軸，主軸與像平面的交點p是攝像機的主點。

如圖所示，影象座標係為o-xy，攝像機座標係為oc−xcyczcoc−xcyczc。記空間點xcxc在攝像機座標系中的齊次座標為：

xc=(xc,yc,zc,1)txc=(xc,yc,zc,1)t

它的像點m在影象座標系中的齊次座標記為

m=(x,y,1)tm=(x,y,1)t

根據三角形相似原理，可得：

{x=fxczcy=fyczc{x=fxczcy=fyczc

即： zcm=⎡⎣⎢fxfy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢f000f0001000⎤⎦⎥xczcm=[fxfy1]=[f0000f000010]xc

由於是齊次座標，可以記為

m=pxcp=diag(f,f,1)(i,0)m=pxcp=diag(f,f,1)(i,0)

上面討論的是理論情況，但實際情況中，主點可能不是影象座標系原點（這裡定義為影象中心）。若主點在影象座標系中座標為

p=(x0,y0,1)tp=(x0,y0,1)t

則 p=k(i,0)=⎡⎣⎢f000f0x0y01000⎤⎦⎥p=k(i,0)=[f0x000fy000010]

通常我們獲取得到的影象是ccd攝像機採集的數字影象，ccd相機是將影象平面的點進行數字離散化。嘉定ccd攝像機數字離散化後的畫素是乙個矩形，矩形的長與寬分別為dx，dy，則設畫素座標為(u,v,1)t(u,v,1)t，即

⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢1dx0001dy0001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[uv1]=[1dx0001dy0001][xy1]

k=⎡⎣⎢fx000fy0u0v01⎤⎦⎥k=[fx0u00fyv0001]

k為ccd的內引數矩陣，其中fx=f/dx，fy=f/dy稱為ccd攝像機在u軸和v軸方向上的尺度因子， (u0，v0)t=(x0/dx，y0/dy)t(u0，v0)t=(x0/dx，y0/dy)t為ccd攝像機的主點。

由於工藝，ccd存在乙個傾斜因子s，s=−fcyanθ/dxs=−fcyanθ/dx。所以更一般的表示為

⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢1dx00−ctanθdxsinθdy0001⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[uv1]=[1dx−ctanθdx00sinθdy0001][xy1]

k=⎡⎣⎢fx00sfy0u0v01⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢fdx00−fctanθdxfsinθdy0(x0−y0ctanθ)dxy0sinθdy1⎤⎦⎥⎥⎥k=[fxsu00fyv0001]=[fdx−fctanθdx(x0−y0ctanθ)dx0fsinθdyy0sinθdy001]

我們一般描述乙個三維點，由於相機可能一直在運動，所以我們並不是基於攝像機座標系下對其描述。我們通常是在世界座標系下進行描述。世界座標系與相機座標系之間的關係可以用旋轉矩陣和平移向量來描述。

如圖所示，零空間點在世界座標系下的座標為x=(x,y,z,1)tx=(x,y,z,1)t，相機座標係為xc=(xc,yc,zc,1)txc=(xc,yc,zc,1)t，兩者關係為：

xc=[r0t−rc~1]xxc=[r−rc~0t1]x

r(i,-c)為相機的外引數矩陣。其中r為旋轉矩陣，令平移向量t為：

t=−rc~t=−rc~

設相機在世界座標系下的齊次座標為c，則

pc=kr(i,−c~)[c~1]=kr(c~,−c~)=0pc=kr(i,−c~)[c~1]=kr(c~,−c~)=0

令p=(h,p4)，其中h為p的前三列所構成的3×3矩陣，p4是p的第四個列向量，所以

c=[−h−1p41]c=[−h−1p41]

記p=(p1,p2,p3,p4)p=(p1,p2,p3,p4)，其中pjpj為p的j列向量。世界座標系的原點x=(0,0,0,1)tx=(0,0,0,1)t，所以其影象座標為

s0m0=px=(p1,p2,p3,p4)⎡⎣⎢⎢⎢0001⎤⎦⎥⎥⎥=p4s0m0=px=(p1,p2,p3,p4)[0001]=p4

所以p矩陣的第4列向量是世界座標原點對應的影象上的齊次座標。

世界座標系3個座標軸方向的影象，3個座標軸與無窮遠平面交點分別為x=(1,0,0,0)t，y=(0,1,0,0)t，z=(0,0,1,0)tx=(1,0,0,0)t，y=(0,1,0,0)t，z=(0,0,1,0)t，所以他們的影象座標分別為：

s1m1=px=p1s2m2=py=p3s3m3=pz=p3s1m1=px=p1s2m2=py=p3s3m3=pz=p3

即攝像機矩陣p的前3個列向量分別是世界座標系3個座標軸方向的影象點的齊次座標。

1、《計算機視覺中的數學方法》，吳福朝

2、《計算機視覺中的多檢視幾何》，劍橋大學出版社

攝像機模型（內參 外參）