動態規劃演算法理解從例題中學習

題目描述

眾所周知，牛妹非常喜歡吃蛋糕。

第一天牛妹吃掉蛋糕總數三分之一（向下取整）多乙個，第二天又將剩下的蛋糕吃掉三分之一（向下取整）多乙個，以後每天吃掉前一天剩下的三分之一（向下取整）多乙個，到第n天準備吃的時候只剩下乙個蛋糕。

牛妹想知道第一天開始吃的時候蛋糕一共有多少呢？

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3思路：

1.（數學分析）首先假設第一天準備開始吃的時候有x份蛋糕，那麼第二天準備開始吃的時候的蛋糕 x-(x*1/3 + 1) = x * 2/3 - 1 份蛋糕。

2.（找狀態方程）設dp[i]為第i天準備開始吃的時候有dp[i]份蛋糕，那麼第二天準備開始吃的時候的蛋糕就為dp[i+1]；根據1的分析可得 dp[i+1] = dp[i] * 2/3 - 1;

3.因為題目給定的n代表的是，最後一天她正準備吃的時候剩下的數量，我們要根據這個數量往前推出她第一天的蛋糕數。所以可得方程式dp[i] = 3 * (dp[i+1]+1) / 2; (就是2中的方程變形)。

完事寫**

#include
using
namespace std;
intcakenumber
(int n)
return dp;
}int
main()

題目描述

眾所周知，牛妹有很多很多粉絲，粉絲送了很多很多禮物給牛妹，牛妹的禮物擺滿了地板。

地板是n\times mn×m的格仔，每個格仔有且只有乙個禮物，牛妹已知每個禮物的體積。

地板的座標是左上角(1,1) 右下角（n, m）。

牛妹只想要從屋子左上角走到右下角，每次走一步，每步只能向下走一步或者向右走一步或者向右下走一步

每次走過乙個格仔，拿起（並且必須拿上）這個格仔上的禮物。

牛妹想知道，她能走到最後拿起的所有禮物體積最小和是多少？

思路首先把題目給定的禮物體積存入乙個二維陣列a[max][max]中，然後準備開始動態規劃了。設乙個二維陣列dp[max][max],先初始化計算它的第一行第一列，因為第一行第一列的所有資料只能是通過它的前乙個資料得來，初始完之後，計算其他的。

狀態方程：dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i][j-1],dp[i-1][j])) + a[i][j];

就是判斷當前點的向上乙個資料，向左的乙個資料，左上的乙個資料，這三個資料的最小值再加上當前的體積值就是該點的值。

完事寫**

#include
#include
#include
using
namespace std;
#define max 1100
int dp[max]
[max]
,a[max]
[max]
;int
main()
} dp[1]
[1]= a[1]
[1];
for(
int i =
2; i <= n;
++i)
for(
int i =
2; i <= m;
++i)
for(
int i =
2; i <= n;
++i)
} cout << dp[n]
[m];
return0;
}

題目描述

牛牛準備在乙個3行n列的跑道上跑步。一開始牛牛可以自己選擇位於(1,1)還是(2,1)還是(3,1)。

跑道的每一格都有一些金幣，當牛牛跑到乙個格仔，他會獲得這個格仔的所有金幣。

不花費金幣跑到第i行第j+1列

花費m_jmj

的金幣跑到第i-1行第j+1列（如果i=1則不可以這麼跑）。

花費m_jmj

的金幣跑到第i+1行第j+1列（如果i=3則不可以這麼跑）。

（牛牛是乙個富豪，本身帶了很多的金幣，所以你不用擔心他錢不夠用）

現在告訴你所有格仔的金幣數量和每一列的金幣花費，牛牛想知道他跑到第n列最多可以賺得多少金幣（賺得金幣=獲得金幣-消耗金幣）思路

首先用乙個二維陣列a[3][max]把每個格仔的金幣數儲存起來，然後就是初始化dp陣列了。這個題目的初始化只能初始化dp的第一列，和上一題不同，這個題後面的數都是可以變化的。這題的遍歷只能一列一列的遍歷，不能一行行的來(畫個圖，拿資料推一遍你就知道了。)

狀態方程：

i == 0：(就是比較一下該點左邊和它左下減去跳行的金幣後的大小)

dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+1][j-1] - m[j-1]) + a[i][j];

i == 1：(比較左邊，左上左下減去跳行的金幣後的大小)

dp[i][j] = max(dp[i][j-1],max(dp[i-1][j-1],dp[i+1][j-1])-m[j-1]) + a[i][j];

i == 2：(比較左邊，左上減去跳行的金幣後的大小)

dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j-1] - m[j-1]) + a[i][j];

測試資料 31 9 3 6 4 6 1 1 5

3 2 1

#include
using
namespace std;
#define max 1100
int n;
int a[3]
[max]
,dp[3]
[max]
,m[max]
;int
main()
}for
(int i =
0; i < n;
++i)
dp[0]
[0]= a[0]
[0]; dp[1]
[0]= a[1]
[0]; dp[2]
[0]= a[2]
[0];
for(
int j =
1; j < n;
++j)
else
if(i ==0)
else}}
int t =
-100
;for
(int i =
0; i <3;
++i)
cout << t << endl;
return0;
}

題目描述

牛牛準備在乙個3行n列的跑道上跑步。一開始牛牛位於(1,1)。

跑到第i行第j+1列

跑到第i-1行第j+1列（如果i=1則不可以這麼跑）。

跑到第i+1行第j+1列（如果i=3則不可以這麼跑）。

跑道上有一些格仔設定了路障(乙個格仔可能有多個路障)，牛牛不能跑到路障上。現在牛牛想知道，從(1,1)到(3,n)有多少條不同的路徑？

為了防止答案過大，答案對1e9+7取模。

思路跟第三題差不多，dp[i][j] 代表的是該格仔有幾條路可到達。(牛客上是提交核心**)

const
int mod =
1e9+7;
class
solution
dp[1]
[1]=
1; dp[2]
[1]=
0; dp[3]
[1]=
0;for(
int i =
2; i <= n;
++i)
return dp[3]
[n];}}
;

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