動態規劃演算法 DP 學習 1

2021-10-11 14:30:46 字數 3168 閱讀 6820

是一種用來最優化問題的方法，將乙個複雜問題分解成若干個子問題，再通過將每個子問題的最優解記錄下來，這樣在再次碰到子問題的時候，就有乙個直接的答案。重點就是其取消了重複計算環節。

通常使用遞迴和遞推兩種方法實現動態規劃，遞迴又叫做：記憶化搜尋。

可以從乙個fibonacci數列的計算為例：

計算斐波那契數列的經典方法就是遞迴，也就是如下：

intf(


int n)
這裡就涉及了重複計算的問題，例如我要計算f(5)。那麼要計算f(4)和f(3)而f4=f3+f2，f3=f2+f1；可以看到f2被計算了兩遍。如果可以把重複計算的值在計算一遍後儲存起來，則可以實現程式的優化。

分析其迭代過程：可以用乙個一位陣列dp[maxn]記錄被計算過的f(n)的值。

dp[i]=f(i-1)+f(i-2)；
那麼可以將原函式改寫：

intf(


int n)
這裡就可以看出記憶化搜尋的意思來，就是用乙個陣列記錄需要被重複計算的部分，等到再次呼叫到的時候直接輸出。

記憶化搜尋能夠把複雜度降級。

這裡可以引出動態規劃的乙個要素，就是重疊子問題和最優子結構，它被分解為幾個子結構後，每個子結構每次決策過程中要有最優解。

下面以乙個問題為例，再分步思考動態規劃問題。

給定乙個數字序列a1，a2，a3...,an，求i,j（1<=i<=j<=n），使得ai+...+aj最大，輸出最大和
這裡使用動態規劃解法，假設乙個dp[i]一維陣列。

他的子問題是什麼？假設現在有

a1=-2, a2=11, a3=-4, a4=-3
暴力方法就是遍歷，其過程可以寫下為：

a[1->1]=-2  a[1->2]=-2+11  a[1->3]=-2+11-4  a[1->4]=-2+11-4-3


a[2->2]=11 a[2->3]=11-4 a[2->4]=11-4-3


a[3->3]=-4 a[3->4]=-4-3


a[4->4]=-3
總結可以得到其子問題：

在這裡需要考慮：需要得到的結果是最大值。可以將最大值設為dp[i]，表示以a[i]為結尾的一系列最大值。

而每次計算得到的最大值是什麼？

dp[i]=dp[i-1]+a[i]
這裡再考慮如果a[i]+dp[i-1]而邊界條件根據i-1>=0，則i>=1，所以需要單獨考慮i=0的情況：

dp[0]=a[0]
這樣就不會發生在迭代的時候卡殼的問題。

整個邏輯完成了之後就可以開始**編寫了。

#include


#include


using


namespace std;


const


int maxn=


10010


;int a[maxn]


,dp[maxn]


;int


main()


//數列輸入完畢


dp[0]


=a[0];


for(


int i=


1;i)//已經完成，接下來比較輸出 


int k=0;


for(


int i=


1;i)printf


(%d,


&dp[k]);


return dp[k]


;}
再來看乙個問題

給出乙個字串s，求s的最長回文子串長度

eg：字串"patzjujztaccbcc"的最長回文子串為"atzjujzta"，長度為9。

怎麼判斷是不是回文串？這是首要的問題。

傳統判斷回文的方法：

兩頭夾：先判斷s[0] 與s[len-1],再是s[1]與s[len-1-1]，。。。。以此迴圈
那麼判斷是不是回文的方法就確定了，這是乙個可以分解成子問題的過程。

暴力方法就是遍歷所有的子串組合，在這個過程中，有許多的重複計算。

在每次判定的組合裡，都會重複之前的步驟，判定某個子串是不是回文。

那麼是否需要乙個數列，儲存之前計算過的關於某子串是不是回文的資訊？

這就是優化的地方。

那麼判斷乙個子串是不是回文的dp寫法呢？

//偽**


bool dp[i][j];


if(s[i]==s[j])


dp[i][j]==dp[i+1][j-1]; //j>=1


else if(s[i]!=s[j])


dp[i][j]=0;
我判斷我自身是不是回文，只需要先比較我的兩頭是不是相等，再判斷我裡面是不是回文，而裡面是不是回文這個資訊已經在之前計算過了。

這是乙個遞迴的過程。

那麼其邊界條件需要考慮的：

1.自身與自身，長度為1的回文子串，不能讓不能讓i+1>j-1

2.根據i+1>j-1，則j>i+2；那麼j=i+1的情況呢？要設定為邊界條件。

//兩條都是根據j>i+2的條件來寫的

for(i=0;i完成了設定後就可以開始寫**了。


#include


#include


#define maxn 1010


using


namespace std;


intmain()


}//這裡進行篩選的方式也需要考慮，是根據i,j雙迴圈的方式進行？還是根據固定長度l，遍歷完乙個長度的序列後再遍歷l++的值呢


//看哪種方式能夠不卡殼，那麼i,j雙迴圈的方式明顯不行，選用固定長度方式


for(


int l=


3;lsize()


;l++)if


(dp[i]


[j]==1)


ans=j-i+1;


}return ans;


}
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