LeetCode系列300 最長上公升子串行

給定乙個無序的整數陣列，找到其中最長上公升子串行的長度。

示例:

輸入: [10,9,2,5,3,7,101,18]

輸出: 4

解釋: 最長的上公升子串行是 [2,3,7,101]，它的長度是 4。

本來想暴力解決一下，思路是從頭到尾選取子串行的開始元素，然後固定開始元素後，向後遍歷，只要後乙個比前乙個元素大，長度就加1

後來發現，這樣是不對的，假如開始元素選擇了2，按我的思路，下一步就直接選擇5做為後繼元素了，這樣得到的結果是[2, 5, 7, 101]，額。。。好吧，雖然和答案得到的長度一樣，但是如果陣列為[10,9,2,5,3,4,7,101,18]的話，我的思路得到的是[2,5,7,101]，但是答案卻是[2,3,4,7,101]，因此這種暴力方法是錯誤的

看來，解決子串行問題還是需要動態規劃

方法一：動態規劃

動態規劃最核心的思想就是避免重複操作

狀態定義：dp[i]表示陣列前i個數字，且以第i個數字結尾的最長上公升子串行的長度

狀態轉移：dp[i] = max(dp[j]) + 1，其中0 <= j < i 且 nums[j] < nums[i]

初始狀態：dp[i]所有元素置為1，含義是每個元素都至少可以單獨成為子串行，此時長度都為 1

返回值：dp列表最大值，即可得到全域性最長上公升子串行長度

class
solution
};

方法二：貪心+二分查詢

考慮乙個簡單的貪心，如果我們要使上公升子串行盡可能的長，則我們需要讓序列上公升得盡可能慢，因此我們希望每次在上公升子串行最後加上的那個數盡可能的小。

基於上面的貪心思路，我們維護乙個陣列d[i]，表示長度為i的最長上公升子串行的末尾元素的最小值，用len記錄目前最長上公升子串行的長度，起始時len為1，d1=nums[0]

同時我們可以注意到d[i]是關於i單調遞增的。因為如果d[j]>= d[i]且j < i，我們考慮從長度為i的最長上公升子串行的末尾刪除i-j個元素，那麼這個序列長度變為j，且第j個元素x（末尾元素）必然小於d[i]，也就小於d[j]。那麼我們就找到了乙個長度為j的最長上公升子串行，並且末尾元素比d[j]小，從而產生了矛盾。因此陣列d的單調性得證。

我們依次遍歷陣列nums中的每個元素，並更新陣列d和len的值。如果nums[i]>d[len]則更新len=len+1，否則在d[1…len]中找滿足d[i−1]根據d陣列的單調性，我們可以使用二分查詢尋找下標i，優化時間複雜度。

最後整個演算法流程為：

設當前已求出的最長上公升子串行的長度為len（初始時為1），從前往後遍歷陣列nums，在遍歷到nums[i]時：

以輸入序列[0, 8, 4, 12, 2]為例：

最終得到最大遞增子串行長度為3

class
solution
vector<
int>
d(n +1,
0); d[len]
= nums[0]
;for
(int i =
1; i < n;
++i)
else
else
} d[pos +1]
= nums[i];}
}return len;}}
;

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