大整數乘法的詳解

由於程式語言提供的基本數值資料型別表示的數值範圍有限，不能滿足較大規模的高精度數值計算，因此需要利用其他方法實現高精度數值的計算，於是產生了大數運算。尤其是乘法運算，下面就是大整數的乘法的過程（加減法都一樣的原理）。

乘法規律，乙個數的第i位和另乙個數的第j位相乘，一定會累加到結果的第i+j位，結果的陣列乙個陣列元素存2位數，最後對結果整除得到進製，mod得到餘數就是i+j位的數字，最後列印出來。

對於大整數比較方便的輸入方法是，①按字元型處理，儲存在字串陣列s1、s2中，計算結果儲存在整型陣列ans中。 ②通過字元的ascii碼，數字字元可以直接參與運算，i位數字與j位數字相乘的表示式為：(s1[i]-『0』)*(s2[j]-『0』)。 ③每一次數字相乘的結果位數是不固定的，而結果陣列中每個元素只儲存一位數字，所以用變數t暫存結果，對t mod運算得到的就是ans[i+j]的值，若超過1位數則進製，用變數b儲存。

這種做法的時間複雜度為o(n^2)

c語言原始碼：

#include #include #include #include int max(int a,int b)
int main()
len = i+j-1 //最終的位數
}for( i = len; i >= 0; -- i) //倒置輸出
printf("%d", ans[i]);
printf("\n");
} return 0;
}

分治演算法解題的一般步驟：

現在有兩個大整數x,y; 設x, y是n位十進位制整數，分段表示如下:

即 x=a*10^(n/2)+b, y=c*10^(n/2)+d 則:

本來可以直接算ad+bc，但是這樣效率變低了，所以對ad+bc進行分解優化後得：

計算成本：3次n/2位乘法，6次不超過n位加減法，2次移位，所有加法和移位共計o(n)次運算。由此可得

理想狀態下c語言**：（不超過long long 型，後面做法會用字串接收大整數）

#include #include #include #include #define sign(x) ((x>0)?1:-1)
//_int64等同於long long 
//%i64d等同於%lld
_int64 mutipy(_int64 a,_int64 b,int num)
else
} int main()
c=mutipy(a,b,len1);
printf("%i64d\n",c); 
} return 0;
}

其實上述有個缺陷：那就是只能是long long 型別的大整數相乘，超出了long long 型就會報錯。解決方法看下面的做法

我們還是假設有兩個大整數x、y，它們的位數不相同，現在要求x*y的乘法，我們採用分治的演算法，將x、y分別拆分為a與b、c與d，如下圖:

上式一共需要進行2次xn0的乘法（ac、ad各一次）、2次yn0的乘法（ac、bc各一次）和3次加法，因而該演算法的時間複雜度為

跟上面一樣，對ad+bc進行分解優化得：

修改後的時間複雜度：

由於t(min(m,n))非理想狀態下的c語言**：（不超過long long 型，後面做法會用字串接收大整數）

#include #include #include #include #define sign(x) ((x>0)?1:-1)
//_int64等同於long long 
//%i64d等同於%lld
_int64 mutipy(_int64 a,int numa,_int64 b,int numb)
else
}int main()
temp=b;
while(temp) 
c=mutipy(a,len1,b,len2);
printf("%i64d\n",c); 
} return 0;
}

非理想狀態下的c語言**：（任意位數相乘，可以超出longlong型別）

#include#includeint result[255];
void cal( char a,int numa,char b,int numb,int s)
else
}else
break;
}for(j=i;j>=0;j--) //從非零的位置列印
printf("%d",result[j]); 
printf("\n");
} return 0;
}

大整數乘法的詳解

大整數乘法

大整數乘法

大整數乘法。

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