文字理解
內點法屬於約束優化演算法。約束優化演算法的基本思想是：通過引入效用函式的方法將約束優化問題轉換成無約束問題，再利用優化迭代過程不斷地更新效用函式，以使得演算法收斂。
內點法(罰函式法的一種)的主要思想是：在可行域的邊界築起一道很高的「圍牆」，當迭代點靠近邊界時，目標函式徒然增大，以示懲罰，阻止迭代點穿越邊界，這樣就可以將最優解「檔」在可行域之內了。
數學定義
對於下面的不等式約束的優化問題：
\[\min f(x), x \in r^n
\[s.t \quad g_(x) \leq0, i=1,2,...,m
利用內點法進行求解時，構造懲罰函式的一般表示式為
\[\varphi (x, r)=f(x)-r\sum_^\frac(x)}
或者\[\varphi (x, r)=f(x)-r\sum_^(x)]}
演算法步驟
取初始懲罰因子\(r^>0\)，允許誤差\(\epsilon>0\)；
在可行域\(d\)內選取初始點\(x^\)，令\(k=1\)；
構造懲罰函式\(\varphi (x, r^)\)，從\(x^\)點出發用無約束優化方法求懲罰函式\(\varphi (x, r^)\)的極值點\((x^, r^)\)；
檢查迭代終止準則：如果滿足$$|x^{} r^-x^{} r^|\leq\epsilon_=10^-10^$$或者$$|\frac ,r^)-\varphi (x^{}, r^)}, r^)}|\leq\epsilon_=10^-10^$$則停止迭代計算，並以\((x^, r^)\)作為原目標函式\(f(x)\)的約束最優解，否則轉入下一步；
取\(r^=cr^\)，\(x^=x^r^\)，\(k=k+1\)，轉向步驟3。遞減係數\(c=0.1-0.5\)，通常取0.1。
內點懲罰函式法特點及其應用
懲罰函式定義於可行域內，序列迭代點在可行域內不斷趨於約束邊界上的最優點(這就是稱為內點法的原因)
只適合求解具有不等式約束的優化問題
內點法求解案例
用內點法求下面約束優化問題的最優解，取迭代初始\(x^0 = [0, 0]^}\)，懲罰因子的初始值\(r^0 = 1\)，收斂終止條件\(\|x^k - x^\| \leq \varepsilon\)，\(\varepsilon = 0.01\)
\[\min f(x) = x_1^2 + x_1^2 - x_1x_2 - 10x_1 - 4x_2 + 60
\[\mathrm\; g(x) = x_1 + x_2 -8 \leq 0
構造內懲罰函式：\(\varphi(x, r) = x_1^2 + x_1^2 - x_1x_2 - 10x_1 - 4x_2 + 60 -r\ln(x_1 + x_2 -8)\)
用解析法求內懲罰函式的極小值
\[\nabla\varphi(x, r) = [2x_1 - x_2 - 10 - \frac \quad 2x_2 - x_1 - 4 - \frac]
令\(\nabla \varphi(x, r) = 0\)得：\(\begin2x_1 - x_2 - 10 - \frac = 0 \\ 2x_2 - x_1 - 4 - \frac = 0\end\)
解得：\(x^*_1(r) = \begin\frac} & \frac}\end^}\)
\(x^*_2(r) = \begin\frac} & \frac}\end^}\)
\(\because g(x^*_1(r)) > 0\)
\(\therefore\) 捨去\(x^*_1(r)\)
\(\because \varphi(x, r)\)為凸函式
\(\therefore\) 無約束優化問題的最優解為\(x^*(r) = x^*_2(r) = \begin\frac} & \frac}\end^}\)
求最優解
當\(r^0 = 1\)時，\(x^*(r^0) = \begin4.8417 & 2.8417\end^}\)，\(\|x^*(r^0) - x^0\| = 5.6140 > \varepsilon\)
當\(r^1 = 0.1\)時，\(x^*(r^1) = \begin4.9834 & 2.9834\end^}\)，\(\|x^*(r^1) - x^*(r^0)\| = 0.2004 > \varepsilon\)
當\(r^2 = 0.01\)時，\(x^*(r^2) = \begin4.9983 & 2.9983\end^}\)，\(\|x^*(r^2) - x^*(r^1)\| = 0.0211 > \varepsilon\)
當\(r^3 = 0.01\)時，\(x^*(r^3) = \begin4.9998 & 2.9998\end^}\)，\(\|x^*(r^3) - x^*(r^2)\| = 0.0021 < \varepsilon\)
即\(x^*(r^3)\)為最優解
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