動態規劃演算法的基本思想演算法動態規劃

演算法——動態規劃

首先學習動態規劃，我們要先知道什麼是動態規劃？

演算法導論這本書是這樣介紹這個演算法的，動態規劃與分治方法類似，都是通過組合子問題的解來來求解原問題的。再來了解一下什麼是分治方法，以及這兩者之間的差別，分治方法將問題劃分為互不相交的子問題，遞迴的求解子問題，再將它們的解組合起來，求出原問題的解。而動態規劃與之相反，動態規劃應用與子問題重疊的情況，即不同的子問題具有公共的子子問題(子問題的求解是遞迴進行的，將其劃分為更小的子子問題)。在這種情況下，分治方法會做許多不必要的工作，他會反覆求解那些公共子問題。而動態規劃對於每乙個子子問題只求解一次，將其解儲存在乙個**裡面，從而無需每次求解乙個子子問題時都重新計算，避免了不必要的計算工作。

定義:

動態規劃演算法是通過拆分問題，定義問題狀態和狀態之間的關係，使得問題能夠以遞推(或者說分治)的方式去解決。

動態規劃演算法的基本思想與分治法類似，也是將待求解的問題分解為若干個子問題(階段)，按順序求解子階段，前一子問題的解，為後一子問題的求解提供了有用的資訊。在求解任一子問題時，列出各種可能的區域性解，通過決策保留那些有可能達到最優的區域性解，丟棄其他區域性解。依次解決各子問題，最後乙個子問題就是初始問題的解。

動態規劃的應用場景：

動態規劃方法一般用來求解最優化問題。這類問題可以有很多可行解，每個解都有乙個值，我們希望找到具有最優值的解，我們稱這樣的解為問題的乙個最優解，而不是最優解，因為可能有多個解都達到最優值。

我們解決動態規劃問題一般分為四步：

1、定義乙個狀態，這是乙個最優解的結構特徵

2、進行狀態遞推，得到遞推公式

3、進行初始化

4、返回結果

一般可以使用遞迴或者遞推的寫法來實現動態規劃，這裡以經典的求解斐波拉契數列為例子。如果沒有學過動態規劃，可能只會用遞迴的方式求解斐波拉契數列。**如下：

long long fab(int n)

事實上，這個遞迴會有很多重複的計算，以下遞迴樹可以直觀地表示。實際其時間複雜度為o(2n)，指數級的演算法在數字稍大的時候基本不能用，更何況當問題規模較大時遞迴呼叫系統棧也是非常耗時的。

這裡將動態規劃的遞迴寫法用簡單遞迴的方法對比，比較當n=50時，兩者所消耗的時間。

程式執行結果表示，動態規劃遞迴演算法的時間消耗幾乎為0，而簡單遞迴卻用了一分多鐘。這是因為把已經計算的結果記錄下來，每次遇到需要計算已經計算的子問題時，直接使用上次計算過的結果，這樣就把時間複雜度從o(2n)降到了o(n)。

經典例題——揹包問題

題目描述：

假設山洞裡共有a,b,c,d ,e這5件寶物(不是5種寶物)，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包, 怎麼裝揹包，可以才能帶走最多的財富。

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。

為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。

對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？

根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，

乙個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另乙個是f[i-1,j-wi]+pi；

在這裡，

f[i-1,j]表示我有乙個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]表示我有乙個承重為6的揹包(等於當前揹包承重減去物品a的重量)，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]就是指單元格b6,值為9，pi指的是a物品的價值，即6

由於f[i-1,j-wi]+pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包

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