【長篇符咒預警～慎點！回答本題，純粹是因為這題勾起了我由來已久欲一吐為快之槽……請原諒我的無聊。。。】
陶哲軒的《分析》一書中，居然把這個證明留成了一道課後習題……還要求用他書中的體系(最「老土」的牛頓逼近法)去證……真是要多特麼蛋疼有多特麼蛋疼。。。簡直喪病啊！
定理10.1.15(復合函式的求導——鏈式法則)：設
證明(所需命題序號引自陶哲軒書，可直接檢視，故不一一贅述)：依命題10.1.7(牛頓逼近)以及命題10.1.10(可微性蘊含連續性)，可立即得出以下三個條件(1、3用10.1.7；2用10.1.10)：
2.而由此可推出——
3.先對1式後半部用三角不等式的變形：
，代入
，即有
(此處還用到
)。再對1式後半部使用
(令 )，得到
將同樣方法應用至3式後半部，得——
—— ①
—— ②
—— ③
現取，則當
時，①、②、③式同時成立。將①式右邊取代③中的
，得 ——
——④以下分兩種情況進行討論——
一、：此時用
乘②，序關係不變(僅當
時需將
換為以保持嚴謹)，有：
——⑤。以⑤的左端取代④式左端
一項，以⑤的右端取代④式右端
一項，這樣並不改變④之原有的序關係，得到——
整理(重新合併同類項，並使用
)，得
——(a)。
二、：此時用
乘②，序關係反號(向)，有：
——⑥。以⑥的左端取代④式左端
一項，以⑥的右端取代④式右端
一項，這樣並不改變④之原有的序關係，得到——
整理(重新合併同類項，並使用
，考慮到
，則 ，下式不等號右端有意義)，得
——(b)。
考慮到，可以將(a)、(b)兩式合二為一：
——(※)。
現給定，令
，這樣一來，一方面當
時， ，而
且 使得
另一方面，當
時， ，而
且 使得
因此，
且 且
根據1、3兩式，存在著
使之針對此處給定的
依以上估計所構造出的
成立；而對於
，依2式知必然存在
使之成立。那麼，令
，依(※)則有——
，依命題10.1.7，定理得證。
這證明從最基本的導數、微分的極限定義出發，用各種繁瑣龐雜的不等式估計式直接正面硬剛，絕對能特麼體現出特侖蘇在這本書前言中所強調的「冗繁然而構造性」、「『嚴格地』、『手工地』做分析」的精神實質——「暴力」的硬分析(俗稱「幹髒活兒」、「硬㨃/懟」)。。。
然而公式敲完之後，只覺天旋地轉，喉頭發癢鹹腥，一口老血噴在螢幕上～
順便說一句，以下「證明」——
是眾所周知的偽證，因為分母
時仍然可以為零。然而，很多人誤認為
的連續性可以保證
使得 ，但——
這是錯誤的！
然後很多人又會誤以為只有常數函式
才會導致這樣的bug出現，然而——
這也是妄念！
考慮以下函式，這是關於可微性的經典反例——
，立即打臉。
所以說，縱使這個偽證中存在的bug本質上是個「佯謬」，但也得認真對待——弄得不好，紙老虎也是會咬人的。
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