標準正態分佈怎麼算標準正態分佈函式的快速計算方法

標準正態分佈的分布函式 $\phi(x)$ 可以說是"資料分析師"統計計算中非常重要的乙個函式，基本上有正態分佈的地方都或多或少會用上它。在一些特定的問題中，我們"資料分析師"需要大量多次地計算這個函式的取值，比如我經常需要算正態分佈與另乙個隨機變數之和的分布，這時候就需要用到數值積分，而被積函式就包含

$\phi(x)$。如果 $z\sim n(0,1), x\sim f(x)$，$f$ 是 $x$ 的密度函式，那麼 $z+x$

的分布函式就是

我們"資料分析師"知道，$\phi(x)$

沒有簡單的顯式表示式，所以它需要用一定的數值方法進行計算。在大部分的科學計算軟體中，計算的精度往往是第一位的，因此其演算法一般會比較複雜。當這個函式需要被計算成千上萬次的時候，速度可能就成為了乙個瓶頸。

當然有問題就會有對策，一種常見的做法是略微放棄一些精度，以換取更簡單的計算。在大部分實際應用中，乙個合理的誤差大小，例如

$10^$ 的級別。

第一種辦法來自於經典參考書 abramowitz and stegun: handbook of

mathematical functions 的公式

26.2.17 。其基本思想是把 $\phi(x)$ 表達成正態密度函式 $\phi(x)$

和乙個有理函式的乘積。這種辦法可以保證誤差小於 $7.5\times

10^$，一段c++實現可以在這裡找到。(**中的常數與書中的略有區別，是因為**是針對誤差函式

$\mathrm(x)$ 編寫的，它與 $\phi(x)$ 相差一些常數)

我們來對比一下這種方法與r中 pnorm() 的速度，並驗證其精度。

library(rcpp)

sourcecpp("test_as26217.cpp") x = seq(-6, 6, by = 1e-6) system.time(y

可以看出，a&s 26.2.17

的速度大約是 pnorm() 的三倍，且誤差也在預定的範圍裡，是對計算效率的一次巨大提公升。

那麼還有沒有可能更快呢？答案是肯定的，而且你其實已經多次使用過這種方法了。怎麼，不相信？看看下面這張圖，你就明白了。

沒錯，這種更快的方法其實就是兩個字：查表。它的基本想法是，我們預先計算好一系列的函式取值

$(x_i,\phi(x_i))$，然後當我們需要計算某個點 $x_0$ 時，就找到離它最近的兩個點 $x_k$ 和

$x_$，再用線性插值的方法得到 $\phi(x_0)$ 的近似取值：

什麼？覺得這個方法太簡單了？先別急，這裡面還有不少學問。之前我們""說了，我們需要保證這種方法的誤差不超過

$\epsilon=10^$，因此就需要合理地選擇預先計算的點。由於

$\phi(-x)=1-\phi(x)$，我們暫且只需要考慮 $x$ 為正的情況。如果讓 $x_i =

ih,i=0,1,\ldots,n$，那麼對函式 $f$

進行線性插值的誤差將不超過( ** )

其中 $\vert f』』 \vert_$ 是函式二階導絕對值的最大值。對於正態分佈函式來說，它等於

0.001818$。最後，只要 $x_n>5.199$，即 $n\ge 2860$ 並另所有 $x>x_n$

的取值等於1，就可以保證整個實數域上 $\phi(x)$ 的近似誤差都不超過 $10^$。

這種簡單方法的實現我放在了 github

library(rcpp)

sourcecpp("test_fastncdf.cpp") x = seq(-6, 6, by = 1e-6) system.time(fasty

與之前的結果相比，相當於速度是 pnorm() 的15倍！

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