旋轉軌跡誰是最可怕的壓軸題？直線運動軌跡

運動問題是數學物理中非常喜歡研究的問題，這和我們本生生活的三維空間有密切的關係，我們無時無刻都在運動著，不論是坐著、站著還是躺著，都在不斷運動。運動有複雜的運動，也有簡單的運動，今天我們我們來聊一聊最簡單的直線運動軌跡。

基本上，在中學，我們研究的都是「有規律的運動」，特別是在初中，主要就是直線和圓的軌跡運動。可能是由於數學意識比較好，不論是買菜還是逛超市，能走直線，我是不會走曲線的，因為「走直線」的潛意識，也節省了很多時間。有所失，必有所得。可能這也是我沒有陪女生逛街的天分。

在講直線軌跡之前，我們先看看有哪些關於直線軌跡的壓軸題？

2023年浙江湖州壓軸題最後一題：

2023年桂林選擇題最後一題：

還有很多，不過沒在中考題中，就不放出來了。這類問題從本質上來說，都屬於直線軌跡的問題。也屬於中考的一種壓軸題型的考法。看似很難，實際有通法可尋。

同學們可以先自己思考思考，如果沒有什麼頭緒，把下面的看完，學乙個「套路」，可以撩「一類題」。

在研究為什麼是直線軌跡之前，我們要複習下直線軌跡的型別？

手寫筆記（四種直線+乙個模型）：

其中上面兩個問題考察的就是上面第5個：手拉手全等的豆瓜模型（直線型）。至於為什麼叫做豆瓜模型？在我強行合理的猜測+解釋下，應該是動點p「種豆得豆，種瓜得瓜」的因果：

乙個動點p（主動點）的軌跡是直線，這個動點到乙個定點a上的所有的點都是以直線運動，且線段pa圍繞定點a旋轉任意的角度，得到p對應的點p『的軌跡還是直線。

在主動點p帶頭大哥的作用下，其他的小弟都甘願追隨。而且非常神奇的是，小弟p『點的運動路程與大哥p點完全是一模一樣，完全不敢跨越雷池半步。

肯定有同學說，那這裡全都是直線，全都是「豆」，沒有瓜啊？作為一名嚴格的吃瓜老師，本著求是創新的精神，我懷著100%的信心和懷疑進行猜測：

當動點p的軌跡是乙個圓的時候，p到定點a上面的所有點的軌跡會是乙個圓嗎？

我們可以通過先找特殊點，比如pa的中點m，然後多畫幾個不同狀態的點探索探索，然後在去證明，經過我的證明，果然是圓。

腦洞有多大，世界就有多大，再勇敢一點，你會發現，p的軌跡決定pa上所有的點都「誓死追隨」大哥p點，對p點表現出來的威懾力感到敬佩。比如，p是拋物線，pa上的點也是拋物線。（ps：在初中主要還是直線和圓）。有興趣的小夥伴可以嘗試去證明下。今天我們的主角是直線，這裡其他的軌跡我們就先按下不表。

我們回到豆瓜模型上繼續探索：

上面那個是圍繞定點a旋轉，如果圍繞動點p進行固定方向（順時針或逆時針）旋轉得到a的對應點a』，那麼a的軌跡還會是直線嗎？a『走的路徑與p走的路徑有啥子關係呢？

還是熟悉的味道和配方，畫出來幾個稍微準確一些的圖，相信你也能會說必然是直線。

我們還是能看到熟悉的手拉手，只不過此時已然不是全等，而是變成了「相似」。走過千山萬水，看過萬紫千紅，不得不說，不管圍著定點a轉得p』，還是圍繞動點p轉的a『，始終逃脫不了這「直線」的宿命呀！跑不出主動點p的「魔抓」。

證明如下：

通過手拉手相似，如果p點有開始點和結束點，我們會發現動點a』的運動路程與動點p的運動路程是乙個固定的相似比。

搞明白了上面的模型，再回頭去看那兩個題目，這類壓軸題型就能迎刃而解了。

當然，更進一步，如果你能把探索-猜想-證明的這個過程自己在體會體驗，琢磨琢磨，特別是提出問題的這個過程在體驗下，那麼相信小夥伴們也能總結探索出自己的「方法套路」，做乙個題，不僅僅解決這一類問題，還要提公升自己抽象、整理總結的能力，把握核心，變來變去，離不開我們的「魔抓」。

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