約瑟夫環問題的通俗解釋

約瑟夫環問題

這個問題是以弗拉维奧·約瑟夫命名的，他是1世紀的一名猶太歷史學家。他在自己的日記中寫道，他和他的40個戰友被羅馬軍隊包圍在洞中。他們討論是自殺還是被俘，最終決定自殺，並以抽籤的方式決定誰殺掉誰。約瑟夫斯和另外乙個人是最後兩個留下的人。約瑟夫斯說服了那個人，他們將向羅馬軍隊投降，不再自殺。約瑟夫斯把他的存活歸因於運氣或天意，他不知道是哪乙個。

—— 【約瑟夫問題】維基百科

我們細化一下規則：

在一間房間總共有n個人（下標1～n），只能有最後乙個人活命。按照如下規則去排除人：

所有人圍成一圈

順時針報數，每次報到q的人將被排除掉

被排除掉的人將從房間內被移走

然後從被kill掉的下乙個人重新報數，繼續報q，再清除，直到剩餘一人

你要做的是：當你在這一群人之間時，你必須選擇乙個位置以使得你變成那剩餘的最後一人，也就是活下來。

解決思路

解決約瑟夫環問題，最重要的是要發現乙個很重要的規律。

假設有10個元素站成一對進行這個遊戲，隊頭和隊尾看成是連在一起的，編號為a b c d e f g h i j。從a開始報數，每次報到3的元素被刪除。

一開始，a b c d e f g h i j

第1輪：c被移走，a b d e f g h i j

第2輪：f被移走，a b d e g h i j

第3輪：i被移走， a b d e g h j

第4輪：b被移走, a d e g h j

第5輪：g被移走，a d e h j

第6輪：a被移走， d e h j

第7輪：h被移走, d e j

第8輪：e被移走， d j

第9輪：j被移走, d

上述遊戲過程找規律不明顯，我們額外增加乙個操作：每次選中的元素被刪除後，剩下的所有元素都進行迴圈左移操作，然後下輪遊戲依然從佇列頭部開始。比如第一輪過後，c 被刪除，佇列變成：a b d e f g h i j，這時將 d e f g h i j 移動到隊頭，把 a b 移動到隊尾，新列隊變成 d e f g h i j a b，第二輪遊戲從元素d開始進行。不難發現，雖然每輪遊戲過後，每個元素的位置發生了變化，但是它們的相對次序並沒有改變，所以額外增加的移動操作不會影響到最終結果。現在，重新進行上述過程。

一開始，a b c d e f g h i j

第1輪：c被移走，d e f g h i j a b

第2輪：f被移走，g h i j a b d e

第3輪：i被移走， j a b d e g h

第4輪：b被移走, d e g h j a

第5輪：g被移走，h j a d e

第6輪：a被移走， d e h j

第7輪：h被移走, j d e

第8輪：e被移走， j d

第9輪：j被移走, d

每一輪遊戲前後，每個元素其實都向前迴圈移動了3個位置，這個過程可以用下列等式描述：

p(n) = p(n+1) - 3 + k * len(n+1) ，（k = 0, 1, 2, …）

p(n+1) 和 p(n) 分別表示一輪遊戲前後某元素在佇列中的位置, len(n+1) 表示該輪遊戲前佇列的總長度, k 是整數，保證p(n+1) - 3 + k * len(n+1) >= 0, 等於0的元素就是該輪遊戲將要刪除的元素。舉個例子，觀察元素e，在第一輪遊戲之前，它的位置是5, 佇列長度 len(n+1) = 10，第一輪遊戲之後，位置變成了2；觀察元素a，在第四輪遊戲之前, 它的位置是2，佇列長度是 len(n+1) = 7，第四輪遊戲之後，位置變成了6。

顯然，在遊戲結束後，最終留下來的人位置是1，對上述等式進行移位運算得到：

p(n+1) = p(n) + 3 - k * len(n+1) ，（k = 0, 1, 2, …）

這個等式可以用模運算來表示：

p(n+1) = ( p(n) + 3 ) % len(n+1),

這裡有一點需要特別注意：由於模運算結果會出現0，而在上述公式中，位置資訊都是從1開始的，運算結果p(n+1) = 0其實表示的是佇列的最後乙個元素。

有了這個關係式，**就很好寫了：

public class ringsolution 
/*** 下標從 1 開始
* @param n 表示一共有 n 個元素參加遊戲
* @param target 表示報數到 target 的人被帶走
*/private static void ring(int n, int target) 
}/**
* 下標從 0 開始
* @param n 表示一共有 n 個元素參加遊戲
* @param target 表示報數到 target 的人被帶走
*/private static void ringzero(int n, int target) }}

如果下標是從0開始，就不需要額外處理模運算結果p(n+1) = 0情況，**可以進一步簡化，如上所示，程式執行結果：

約瑟夫環問題的通俗解釋

約瑟夫問題約瑟夫環

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約瑟夫環公式法解釋

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