函式型別在初中階段就接觸到了：
如果 如何構造這樣乙個型別的元素呢？給定乙個表示式
由這個表示式就可以構造乙個函式
那麼 這裡
是沿襲hott書[1]中的記號，代表「根據定義，前者就是後者」；也就是說，可以在任意地方將式子的左右側互換。這會在相等型別的討論中進一步解釋。
另一種寫法就是
-抽象：
（其中
可以省略為
）。這種寫法比較乾淨，可以迅速地臨時引入乙個函式，而不必在前面先說明（至於為什麼用這個字母，是因為church本來想寫
，但是印刷技術不行，印成了
，後來就演化成
）。在各大語言中都有對應物，比如python的
lambda關鍵字、js的箭頭函式。其中，後者更接近於我們要引入的第三種記法：
注意兩個箭頭的不同寫法。在hott書[1]中還有一種記法，就是將函式的自變數寫作「
」，舉個例子，
就是 的簡記法。作為乙個語法糖還是不錯的。
上面講了構造，那麼我們如何使用乙個已經構造好的元素呢？舉個例子，如果
，我們就有
也就是說，如果
，那麼
就是 把
中所有都替換成
，寫作
這個稱為
其實這裡有一些命名上的細枝末節。譬如
，那麼
這一點的處理，可以參見[1]的相關部分與[2]的討論。
對於任何乙個函式
，我們都可以構造乙個函式
我們可以認為這個函式跟原來那個是完全一樣的：
這個稱作
-化簡。在講外延相等與內蘊相等的時候（也在相等型別那一節）會詳細闡述。這裡
代表「雖然不是根據定義，但是兩者完全相同，可以隨意互換」。
最後，講講如何巧妙的定義多變數函式。接觸過函式式程式設計的人可能已經知道了。對於乙個多變數函式
，如果給定引數
，就可以得到函式
我們知道這個函式的型別是
換句話說，輸入乙個元素
，這個二元函式給出了乙個一元函式，型別是
；這就意味著
這個轉化稱作
柯里化。我們會頻繁地用到這個技巧，因此我們把
記作右結合的，也就是說
，這樣可以節省不少括號。
請讀者思考一下
與之有什麼不同，並且給出滿足
的乙個元素
-演算與蘊涵邏輯
先講講-演算。
如果我們定義函式的方法純粹使用上文中的
-抽象的話，我們的程式語言就會變得非常簡單。事實上，我們可以僅用
-抽象與代入，就構建起乙個圖靈完備的程式語言；那實際上就是我們要介紹的itt理論（這個名字以後再解釋吧）的骨架。不過，itt理論通過豐富的型別，以及一些比較好的計算上的性質，更好地發展了
-演算。在後面講church編碼的時候，會更詳細地提到。
而僅僅有函式型別的型別論（稱作簡單型別），對應的邏輯就是蘊涵邏輯。所謂「蘊涵」，指的就是「能推出」的關係。事實上，給一些公理（譬如，題圖中的那些），就可以在蘊涵邏輯的基礎上完全地描述命題邏輯，也就是不涉及比命題更精細的結構。所謂的「邏輯三段論」等等就是命題邏輯的一部分。
如果有時間我再多講講吧。
[1] the univalent foundations program,homotopy type theory: univalent foundations of mathematics.
[2] wikipedia, name resolution (programming languages), alpha renaming to make name resolution trivial.
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