一、向量是基底的組合.
在空間中，我們可以用向量的終點來代替向量本身，那麼在乙個既定基底中：乙個向量x可以表示為α = [x,y]，本質上x和y可以理解為兩個標量，是對應基底向量的個數. 以二維空間為例：設基底為i=[1,0]，j=[0,1]，則α=xi+yj(x和y就是個數)。那麼如果基底換了呢？？ 比如基底變成i'=[2,1]，j'=[1,2]. 那麼原先的向量x咋表示？？
二、基底變換
我們假設向量x在原基底下表示為α=[3,3], 那麼用原先的基底表示的話就是 3i+3j。 如果用新的基底表示就是: α』=[1,1] = 1i'+1j'。通過這個也印證了上乙個結論： 向量座標的x/y只是乙個標量，是基底的個數。 而用了基底變換後：不僅僅是基底變了，所有的座標也都會對應線性變換。
那麼:從【老的基底】變換成【新的基底】，本質也是乙個線性變換的過程。 所以存在乙個轉換矩陣p來描述這個過程。 那麼p也可以用來描述同乙個向量的 老座標 到 新座標的轉換，也就是說： pα= α' 。但是注意了：α 和 α'本質描述的都是同乙個向量x，只是在不同基底下的不同表示形式而已。
三、相似矩陣
現在我們要對這個向量做一些線性變化，那很顯然：這個線性變化在不同的基底中的表示也是不同的，假設轉換矩陣在老基底下表示為 a，在新基底下表示為b。那麼：
轉換後的新向量(在老基底下)： aα
轉換後的新向量(在新基底下)：bα' = bpα
假設轉換後的向量為y， 那麼上述aα和bpα 只是這同乙個向量y在新老基底下的不同表示而已。 那這兩種表示之間其實也是空間變化的關係，因此也可以用轉換矩陣p來描述, 所以
paα = bpα進而pa=bp。這裡a和b就是彼此稱呼為相似矩陣。
對指定向量的同乙個空間變化(從原點到目標點)：在不同基底空間下的描述矩陣(a和b)，彼此之間稱之為相似矩陣。 而相似矩陣所表示的線性變換，彼此之間稱之為相似變換。
這個可以形象表示如下：
從原點(代表原始向量) 線性轉換為 目標點(代表目標向量)， 其實可以走兩條路(圖中的藍色/紅色)
線路①先在原基底空間內做線性轉換a為k', 隨後對k『做基底變化
線路②先做基底變化為t',隨後在做線性轉換b.
四、幾何意義
bp=pa
其中p代表兩個基底空間的轉化， a和b是各自基底空間內的相似矩陣。
對於同乙個線性變換，我們希望可以選取【一組好的基底，乙個好的轉換矩陣】來描述。那關鍵是：什麼是好的基底，什麼是好的轉換矩陣呢？？？
回答：好的轉換矩陣 一定是：對角矩陣。 而好的基底就是滿足：轉轉矩陣是對角矩陣的基底。 所以核心還是要讓轉換矩陣是乙個對角矩陣。
原因：對角矩陣有以下特性，任何向量用對角矩陣做線性變化: 都只是長度的伸縮而已，不存在旋轉等其他操作。 亦即：它只是各個基底軸的拉伸。(好處就是計算簡單且直觀)
那問題就簡化了：
假設在某基底下，一向量做線性變化的變換矩陣就是個對角矩陣就爽了！
但是實際顯然不可能這麼「巧合」， 那我們可否把乙個線性變化轉成這種樣式呢？這就是相似矩陣的作用。
大部分情況下：在基底m中，向量α做線性變化a得到結果aα. 但是a卻不是乙個對角陣。那麼為了讓轉換矩陣成為乙個對角陣， 我們可能需要更換個基底，在新基底n中(老到新是做了p轉換)，向量α變為pα，隨後進行新的線性變化(希望是個對角矩陣b)p-¹bpα，這個的結果跟在老的基底下的轉化aα的結果應該是相同的。
最終結論就是對角矩陣 b = pap-¹，而我們知道：a這個轉換是固定的，那要讓b滿足對角，那就是要找乙個可逆的p矩陣了！ 所以最終目標轉為構造乙個可逆p矩陣，滿意b = pap -¹且b是對角陣。
五、怎麼找是對角矩陣的轉換矩陣？
按照相似矩陣的結論，如果b是是乙個對角陣，則滿足上述表示式。計算下的話就是：
[a,a
,......a
] = [
, ,....
]這就意味著： a
= , a
= ,....., a
= .(其中
都是標量)
也就是要滿意表示式
，而這個表示式從線性變化的角度來回答就是：向量
經過變換矩陣a代表的線性變換後，只是自己的長度伸縮了
倍而已！！！
這玩意其實就是特徵值和特徵向量。
滿足 ，的向量p和標量x就是方陣a的特徵向量和特徵值。(注意：特徵向量/特徵值是 方陣的固有屬性，乙個n階方陣有n組特徵向量和特徵值！)，可以單獨對a來求其特徵向量和特徵值的。
6、特徵值和特徵向量
ap=pb，如果希望b是乙個對角矩陣,那就意味著：
①b對角的各個元素是 a的特徵值
②p的各個列元素都是a的特徵向量
再返回來，我們說a和b是相似矩陣，其中：a的特徵值構成的對角矩陣就是b的一種。
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