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在之前介紹線性代數行列式計算公式的時候，我們曾經介紹過逆序數：我們在列舉出行列式的每一項之後，需要通過逆序數來確定這一項符號的正負性。如果有忘記的同學可以回到之前的文章當中複習一下：
線性代數精華1——從行列式開始
如果忘記呢，問題也不大，這個概念比較簡單，我想大家很快就能都搞清楚。
我們先來回顧一下逆序數的定義，所謂逆序數指的是陣列當中究竟存在多少組數對，使得排在前面的數大於排在後面的數。我們舉個例子，假設當下有乙個陣列是: [1, 3, 2]。
對於數對(3, 2)來說，由於3排在2前面，並且3 > 2，那麼就說明(3, 2)是一對逆序數對。整個陣列當中所有逆序數對的個數就是逆序數。
我們從逆序數的定義當中不難發現，逆序數其實是用來衡量乙個陣列有序程度的乙個指標。逆序數越大，說明這個陣列遞增性越差。如果逆序數為0，說明這個序列是嚴格遞增的。如果乙個長度為n的陣列的逆序數是c_n2，那麼說明這個陣列是嚴格遞減的，此時逆序數最大。
那麼，我們怎麼快速地求解逆序數呢？
顯然，這個問題可以暴力求解，我們只需要遍歷所有的數對，然後判斷是否構成逆序即可，最後累加一下所有逆序數對的個數就是最終的答案。
這個**非常簡單，只需要幾行：
這樣當然是可以的，但是我們也很容易發現，這樣做的時間複雜度是 o(n^2) ，這在很多時候是我們不能接受的。即使是執行速度非常快的c++，在單核cpu上一秒鐘的時間，也就能跑最多n=1000這個規模。再大需要消耗的時間就會陡然增加，而在實際應用當中，乙個長度超過1000的陣列簡直是家常便飯。顯然，我們需要優化這個演算法，不能簡單地暴力求解。
我們可以嘗試使用分治演算法來解決這個問題。
對於乙個陣列arr來說，我們試著將它拆分成兩半，比如當下arr是[32, 36, 3, 9, 29, 16, 35, 73, 34, 82]。我們拆分成兩半之後分別是[32, 36, 3, 9, 29]和[16, 35, 73, 34, 82]。我們令左邊半邊的子陣列是a，右邊半邊的子陣列是b。顯然a和b都是原問題的子問題，我們可以假設通過遞迴可以求解出a和b子問題的結果。
那麼問題來了，我們怎麼通過a、b子問題的結果來構建arr的結果呢？也就是說，我們怎麼通過子問題分治來獲取原問題的答案呢？
在回答之前，我們先來分析一下當前的情況。當我們將arr陣列拆分成了ab兩個部分之後，整個arr的逆序數就變成了三個部分。分別是a陣列內部的逆序數、b陣列內部的逆序數，以及ab兩個陣列之間的逆序數，也就是乙個元素在a中，乙個元素在b中的逆序數對。
我們再來分析一下，會發現a陣列中的元素交換位置，只會影響a陣列之間的逆序數，並不會影響b以及ab之間構成的逆序數。因為a中的元素即使交換位置，也在b陣列所有元素之前。
我們舉個例子：
假設arr=[3, 5, 1, 4]，那麼a=[3, 5], b=[1, 4]。
對於arr而言，它的逆序數是3分別是(3， 1)， (5， 1)和(5， 4)。對於a而言，它的逆序數是0，b的逆序數也是0。我們試著交換一下b當中的位置，交換之後的b=(4， 1)，此時arr=[3, 5, 4, 1]。那麼b的逆序數變成1，a的逆序數依然還是0。而整體arr的逆序數變成了4，分別是：(3， 1)，(5， 1)，(5， 4)和(4，1)，很明顯整體的逆序數新增的就是b交換元素帶來的。
通過觀察，我們也能發現，對於a中的3和5而言，b中的1和4的順序並不影響它們構成逆序數的數量。
想明白了這一層，剩下的就簡單了。既然a和b當中的元素無論怎麼交換順序也不會影響對方的結果，那麼我們就可以放心地使用分治演算法來解決了。我們先假設，我們可以通過遞迴獲取a和b各自的逆序數。那麼剩下的問題就是將ab歸併之後的逆序數對，也就是找出所有a和b各佔乙個元素的逆序數對的情況了。
我們先對a和b中的元素進行排序，我們之前已經驗證過了，我們調整a或者b當中的元素順序，並不會改變橫跨ab逆序數的數量，而我們通過遞迴已經求到了a和b中各自逆序數對的數量，所以我們存下來之後，就可以對a和b中的元素進行排序了。a和b中元素有序了之後，我們可以用插入排序的方法，將a中的元素依次插入b當中。
從上圖我們可以看出來，假設我們把 a[i] 這個元素插入b陣列當中j的位置。由於之前 a[i] 排在b這j個元素之前，所以構成了j個逆序數對。我們對於所有a中的元素 a[i] 求出它在b陣列所有插入的位置j，然後對j求和即可。
比較容易想到，由於b元素有序，我們可以通過二分的方法來查詢a當中元素的位置。但其實還有更好的辦法，我們乙個步驟就可以完成ab的排序以及插入，就是將ab兩個有序的陣列進行歸併。在歸併的過程當中，我們既可以知道插入的b陣列中的位置，又可以完成陣列的排序，也就順帶解決了陣列排序的問題。所以整個步驟其實就是歸併排序的延伸，雖然整個**和歸併排序差別非常小，但是，這個過程當中的推導和思考非常重要。
如果你能理解上面這些推導過程，我相信**對你來說並不困難。如果你還沒能完全理解，也沒有關係，藉著**，我相信你會理解得更輕鬆。話不多說了，讓我們來看**吧：
從**層面來看，上面這段**實現了排序的同時也算出了逆序數。所以這就是為什麼很多人會將兩者相提並論的原因，也是我個人非常喜歡這個問題的原因。看起來完全不相關的兩個問題，竟然能用幾乎同一套**來解決，不得不感嘆演算法的神奇。也正是因此，我們這些演算法的研究和學習者，才能獲取到源源不斷的樂趣。
歸併演算法經典應用 求解逆序數
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