向量與點
參考資料
寫在最後
線性代數是多門學科理論研究的基礎。回顧自己以前學習的線性代數較為淺顯，因此打算重新複習並加深對線性代數的理解。本文為線性代數本質（一）。
字面意思：排成一列的數字嘿，就長這樣！實際意思：有向線段（帶有方向的線段）、空間內的點。
嗯，這串數列有什麼含義呢？這取決於你看他的視角。
那麼線性代數中的向量視角是什麼樣的呢？
以二維平面為背景，建立x-y座標軸，平面中的原點是所有向量的根源，向量座標可以用一對數表示，描述了如何從原點（向量的起點）出發達到他的尖端（向量終點），因此每個向量對應一對數。
不僅侷限於二維平面，我們可以把線性代數中向量的概念推廣到三維、四維等等，以三維平面為例，每個向量就與乙個有序三元陣列相對應。
我們知道，線性代數中的每乙個主題都圍繞著兩種運算————向量相加和向量數乘。
指的是相同維數的向量之間的加法，類似於高中物理中的三角形定則,其計算表示式是：
在座標軸上，我們固定第乙個向量的位置，平移第二個向量，使它的起點與第乙個向量的終點重合，然後從第乙個向量的起點出發，指向第二個向量的終點，生成的新向量就是他們的和。
為什麼這種相加是合理的呢？
在這裡我們把向量看作一種在座標軸上的特定的運動，我們從起點出發朝著它指定的方向運動一段距離，沿著這兩個向量所描述的方式進行移動後，總體效果與你沿著這兩個向量的和運動一樣。
向量的數乘相當於對向量進行拉伸和縮放，其數學表達有以下兩部分組成：
標量作為伸縮程度的控制變數，解釋了如何拉伸和壓縮乙個向量。
我們都知道，在二維空間裡，我們可以用一對數列唯一的表示各個向量。
為什麼可以這樣表示呢？這些數又有什麼含義？
結合我們在上一部分學習到的向量數乘的知識，我們可以把數列看作數乘時候的標量，我們只需要找乙個向量，與標量進行數乘後在座標系中唯一地表示每個向量。
很顯然，「基向量」很滿足我們的要求。
基向量是向量空間上，各個維度正方向上，線性無關的，長度為1的單位向量，空間的維度決定了基向量的個數。我們以下列向量為例講述一下基向量的作用：
向量可以看作標量2對x方向上的基向量
進行縮放、標量2對y方向上的基向量
進行縮放後相加所得的結果，即
縮放向量並相加。
這引發了我們對2個問題的思考：
1、座標系中的基向量唯一嗎？我可以選擇不同方向的單位向量作為基向量嗎？
答案是可以的，基向量並不唯一。
假設我們確定一組基向量，通過選擇兩個標量，分別縮放各個基向量，若縮放基向量後相加的結果可以表示所有的二維向量，這代表這組基向量是合理的。
2、為什麼基向量之間要線性無關？
別急，這個問題會在後面做出解答。
兩個向量標量乘法之和的結果被稱為這兩個向量的線性組合，數學表達如下：
通過改變標量的大小，線性表示空間中所有的向量。
所有可以表示為給定向量線性組合的向量集合成為給定向量張成的空間。
那麼這個空間究竟是什麼樣的呢？
回到前面的問題————為什麼基向量之間要線性無關？
假設我們拿x軸上正方向上的單位向量
和負方向上的單位向量
為二維平面上的基向量，則線性表示成：
當我們將標量b設為0時，只改變標量a，最終形成的空間是一條直線；當我們通知改變標量a與b時，無論如何改變，最終形成的空間仍然都是一條直線；
因此，基向量
並未對空間做出任何貢獻，它是多餘的。 這說明上述基向量的選擇是不合理的。
假設你有很多向量，並且可以移除其中乙個而不減小張成空間，我們稱之為線性相關。另乙個表述是乙個向量可以表示為其他向量的線性組合，如上面選取的基向量
可以線性表示為
。另一方面，如果所有向量都給張成的空間增添了新的維度，它們就被成為線性無關，因此基是張成該空間的乙個線性無關的向量集。
當所有向量都充滿在空間中時，會給人一種密集恐懼症的感覺，因此我們用向量的終點代表該向量，將每個向量抽象為它的終點，這樣，二維的向量空間可以看作一張無限延張的平面。
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