二重積分的柯西施瓦茨不等式柯西不等式的證明

柯西不等式在數學的各個領域中均有出現，從競賽裡的放縮到量子力學裡的不確定性原理中均有應用，所以本篇文章將證明廣義的柯西不等式，即柯西—施瓦茨不等式（cauchy—shwarz inequality）。

首先我們需要先了解一下什麼是內積空間（inner product space）。在數學中（尤其是代數），人們總喜歡將我們平時接觸的世界

向量空間（vector space）。在此基礎上，他們把歐式空間裡的點積（dot product）推廣，定義了廣義的內積空間（inner product space）。其中內積空間就是定義了內積運算（即

定義向量的模（norm）

當時，

（內積空間上的勾股定理）

有了這些已知條件，我們就可以開始證明了：

設兩個向量

，如果u和v線性相關，則設u=kv，其中

。現在代入，可以發現等式明顯成立：

現在我們再來看看u和v線性無關時的情況。我們先定義新向量

接著再對等式兩側求對v的內積，發現z和v正交：

現在我們在轉換一下等式（1），得到

根據z和v的正交性，我們可以使用內積空間裡的勾股定理：

根據列出的內積空間的第六條性質，我們可以發現

。所以去掉右側等式裡的

項會讓等於號變成大於等於，最終幫助我們推導出柯西不等式：

我們知道歐式空間是乙個良好的內積空間。如果我們把歐式空間

裡的內積

代入到（2）裡，就能夠哦得到平時數學競賽裡常用的柯西不等式：

通過柯西不等式，我們還可以推導出量子力學中著名的海森堡不確定性原理（heisenberg's uncertainty principle），敬請期待下一期——《柯西不等式的應用——不確定性原理》。

二重積分的柯西施瓦茨不等式 柯西不等式的證明