比如1/4這個分數，既可以等於0.25，也可以等於0.24999…。前者是乙個有限小數，後者是乙個無限迴圈小數。
很顯然，問題出在無限迴圈小數0.999…和1的關係上。這是很多孩子經常會問的乙個問題：0.999…和1哪個大？很多沒學過高等數學的人，都會覺得0.999比1小，因為感覺中間差一點。但正確答案是二者一樣大。
這個問題的嚴格證明，得從實數的構造開始說起，證明過程有點過於數學，在此不做詳細介紹，感興趣的朋友可以參閱《陶哲軒實分析》。今天我們介紹幾種不太嚴謹的初等數學的方法。方法一：利用解方程的思路，
假設0.999…=x，考慮10x的值。
10x=9.999…=9+x,化簡即9x=9,
解方程可得x=1。方法二：利用不等式和實數的稠密性，
假設0.999…=x，且x<1,
則0.999…< (x+1)/2 <1,
但滿足條件的(x+1)/2不存在，
這說明假設不成立，即x不小於1，
注意到x不可能大於1，
因此x=1。方法三：利用k/9化為無限迴圈小數的性質，
由於1/9=0.111111……,
因此0.999…=9*0.111…=9*1/9=1。方法四：利用k/9化為無限迴圈小數的性質，
由於1/3=0.333333……,
因此0.999…=3*0.333…=3*1/3=1。方法五：利用無窮項等比數學求和公式，
由於0.999…=0.9+0.09+0.009+…,
而0.9，0.09，…是等比數列，
首項是0.9，公比是0.1。
根據等比數列的求和公式，
0.999…=0.9/(1-0.1)=1。
注：需要說明的是，所有採用四則運算的初等方法都不嚴謹，只能用於輔助孩子加深對無限迴圈小數的理解。
既然0.999…和1是相等的，可得
0.24999…=0.24+0.01*0.999…=0.25，因此1/4化為小數後並不唯一。一般的，所有可以化為有限小數的分數，都可以寫成類似的無限迴圈小數，所以分數化為小數並不一定唯一。思考題：(4星難度)用n!表示不大於n的所有正整數的乘積，問有多少個正整數n，使(n+2020)!/[(n!)*(2020!)]是正整數？
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