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預備知識電場的高斯定理， 球座標系中的梯度散度
以下我們用使用庫侖定律和散度定理 嚴謹地證明電場的高斯定理．
我們先看乙個位於原點， 電荷為
要計算某點的散度， 最方便的做法是使用球座標公式（式 2 ）得
注意由於式 1 在原點處無定義， 也不存在偏導數， 該結論不適用於
． 由於散度算符是線性的， 即使空間中有許多點電荷， 第
個產生的電場為
， 空間中任何點（除了點電荷的位置）的電場散度都為零．
我們還是假設只有乙個點電荷位
於座標原點， 現在我們以原點為球心做乙個半徑為任意
的球面
， 並計算電場在球面上的通量為
然而根據散度定理（式 1 ）， 如果
在球內處處為零， 應該有
才對． 所以問題應該出在原點， 由於散度定理要求向量場在閉合曲面內部處處可偏導， 所以式 4 的結果並不嚴格適用於散度定理1．
繞開奇點
我們可以以另一種方式避開
處的奇點使用散度定理． 結合式 3 和式 4 ， 可以用散度定理證明： 如果在球面
的外部再任取乙個閉合曲面
（正方向也向外）， 那麼電場在該曲面上的通量應該也是相同的．
這是因為， 我們可以把這兩個曲面共同看成是它們之間的球殼形體積
的內外表面（但
的正方向需要改變）． 而
中散度處處有定義且等於零， 所以由散度定理得內外表面的電場總通量為
移項可得兩個面積分相等．
進而可以得到， 對於任意兩個包含同乙個點電荷
的曲面（正方向都向外）， 電場在它們上的通量都等於
， 而
也不一定需要在原點． 再根據電場的疊加原理和點乘的分配律（式 3 ）， 如果曲面內有多個點電荷
， 那麼它們在曲面上的通量等於每個點電荷產生的通量之和， 即
這就證明了電場的高斯定理．
同理， 若曲面內的電荷是連續分布的， 我們只需要把求和變為對電荷密度分布
的積分即可
注意如果電荷密度
處處為有限值， 那麼電場的散度也將處處有定義． 對比散度定理可得空間中任意一點
處電場的散度與電荷密度成正比．
這就是電場高斯定理的微分形式．
1. 但有辦法可以彌補， 見 「點電荷電場的散度」
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