本篇文章接上篇，繼續研究貓爪定理之三中的，2023年的經典題目。
1、如圖，設d、e、f分別在bc、ca、ab上且ed=ec,fd=fb,
求證：d關於ef對稱點d'在△abc外接圓上。
(《中等數學》2023年增刊1 高中數學聯賽模擬題6)
思路分析：
依題意可得f為△bdd'的外心，
e為△cdd'的外心，
從而倒角即得∠bd'c=∠a,從而得證。
證明：依題意fb=fd=fd',
從而f為△bdd'的外心，
類似的，e為△cdd'的外心，
故∠bd'd=∠0.5bfd=90°-∠abc,
同理∠cd'd=90°-∠acb,
則∠bd'c=∠bd'd+∠cd'd=90°-∠abc+90°-∠acb=∠a,
故bd'ac共圓。
即d』點在△abc外接圓上.
注：不難發現此題才是第三篇2023年題的本質推廣。在第四篇中提到自然的思路是將此題結論由等腰三角形情形推廣到任意三角形中，但是如果直接作出平行四邊形，發現對稱點不在外置圓上。如果仔細審視原題的證明發現證明中關鍵用到的是外心和倒角。也就是說只要保證外心即可，從而只要滿足ed=ec,fd=fb即可。而本題的最終證明也和原題的證明如出一轍。
所以我們在推廣問題的時候不能邯鄲學步，不能只是簡單的形式上的模擬，更關鍵的是抓住題目證明中的本質特徵進行推廣或者加深才能探驪得珠、馬到成功。
下面考慮在那個題目中，還能得到哪些結論呢？因為aefd』共圓，可以考慮當d運動時，此圓還有什麼特點，可以發現，此圓還經過某個定點，而此定點即為abc外心，從而得到
2、過等腰△abc底邊bc上一點d引de//ca交ab於e；引df//ba交ac於f.
o為△abc外心.
求證：a,e,o,f四點共圓.
思路分析：只需證明∠aeo=∠cfo,
顯然△aob≌△coa,而e,f為對應點，從而成立。
證明：由oa=ob=oc及ab=ac得
△aob≌△coa(sss),
由平行得ae/eb=cf/fa,
從而e,f為全等三角形的對應點，
故∠aeo=∠cfo,則a,e,o,f四點共圓.
此結論能否推廣到任意三角形呢？答案是肯定的！
3、已知：如圖，設d、e、f分別在bc、ca、ab上且ed=ec,fd=fb,o為△abc外心，
求證：aeof共圓；( 2023年第 27 屆俄羅斯數學奧林匹克)
思路分析1：
條件ed=ec,fd=fb很難用，
能得到becosb+cfcosc=0.5bc。
四點共圓基本思路是倒角，
即證∠aeo=∠cfo,
條件外心o也不好用，
乙個自然的思路是作出ab、ac中點k,l，
需證tan∠aeo=tan∠cfo,
分析計算即得.
證明1:
設△abc邊角為a,b,c,a,b,c,oa=r,
ab、ac中點為k,l,則∠kao=90°-∠c,
同理∠lao=90°-∠b,
由ed=ec,fd=fb得
becosb+cfcosc=0.5a,則
aeof共圓
<=>∠aeo=∠cfo
<=>tan∠aeo=tan∠cfo
<=>ok/ke=ol/lf,
<=>ok*lf=ol*ke,
<=>rcosc*(cf-0.5b)=rcosb*(0.5c-be),
<=>becosb+cfcosc=0.5(c*cosb+b*cosc)
<=>0.5a=0.5a,
從而結論成立。
思路分析2：
四點共圓另外乙個思路是用三弦定理(即托勒密定理逆定理)，
類似1分析證明即得。
證明2:
用三弦定理(即托勒密定理逆定理)
類似證法1，
aeof共圓
<=>oasina=aesin∠oac+afsin∠oab
<=>rsina=aecosb+afcosc
<=>0.5a=c*cosb-becosb+b*cosc-cfcosc
<=>0.5a=0.5a,
顯然成立，從而得證。
思路分析3：
聯想到上一題，可以考慮將此題轉化為上題，在此基礎上解決。
倒角即得。
證明3:作出d關於ef對稱點d',
則eb=ed',
由上題知d'bca,d'efa共圓,
從而有∠aod'=2∠abd'=∠aed',
則d'eoa共圓,
即eofa共圓。
注：1) 本題難度中等，圖形簡潔，結論優美，不是很好證明。
2) 本題難點在於如何利用若ed=eb,fd=fc,代數上不難得到becosb+cfcosc=0.5a,共圓的證明要麼倒角要麼三弦定理，上述證法1,2偏向於代數運算，最終殊途同歸，都歸結到上述等式上。證法3將其轉化為上題，利用上題結論輕鬆解決。這也反映出本題本質可能**於上題，是在研究此結構過程中得到的結論。
3)當然本題還能得到其他結論，應該還有其他的證明思路。
4、如圖，e、f在ab、ac上，△aef外接圓o』與△abc外接圓交於d』,o為△abc外心。
證明：d』關於ef對稱點d在bc上的充要條件為圓o』過o；
(2023年中國國家隊選拔考試)
思路分析：
本題結構還是上面那個2023年題目的結構，但是還是有些區別的。本題的側重點是點d』,
d』關於ef對稱點d在bc上等價於什麼呢？探索後發現最好作出ef與bc交點h,則d』關於ef對稱點d在bc上等價於∠d'he=∠ehb，這樣就發現d』為完全四邊形密克點，以下倒角即得。
證明：設ef交bc於h，則d'為四條直線ab,ac,bc,ef構成的完全四邊形密克點，
從而d'ech共圓。
若圓o'過o，
則∠d'hc=∠d'ea=∠aod'=2∠acd'=2∠ehd'
故∠d'he=∠ehb,則d'關於ef對稱點在bc上。
反之，若d'關於ef對稱點在bc上，則∠d'he=∠ehb，
則∠d'ea=∠d'hc=2∠ehd'=2∠acd'=∠aod'，
故圓o'過o。
注：不難發現，本題依然**於上述經典結構。不過他改變了視角，重點描述了d』,算是上述問題的逆命題。所以本題最自然的思路是轉化為上題結構，但是發現d在bc條件很難轉化，條件點d』為兩圓交點也不好使用。用上題結構要證明充要條件不太容易。進而抓住本結構的本質——貓爪定理(即密克定理)。利用密克點的性質，倒角即可輕鬆證明。
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