求三連qaq，知乎小白好可憐
某天我看到某個問題是求證ln10＞2.1，那麼我們就以ln10為例嘗試估值
我們都知道lnx≥1–1/x
圖里最右端的不等式其實已經適合估高中內的一切對數值了，不過並不是直接把數代入
從圖里我們可發現，ln(x+1)與2x/(x+2)在x趨於0處是近似等價的，我們只需把10逐漸變成乙個趨於1的數就可以放縮了
我們開始吧
△x為9.99與10的差值，1/10為x=10處的切線斜率，這樣我們能保留更高的精度。接下來就是估那兩個對數值了
對於ln(x+1)與2x/(x+2)，x=0.1時，二者差值為0.00007，也就是說我們對於ln(1+x)估值，只需x在±0.2之間就足夠精度了。
我們先估ln1.11，ln1.11≈2·0.11/(2+0.11)=0.1043
再估，ln3=ln2+ln1.5，
聶渲南：如何不依靠計算器和數學用表，手動給非平方數開根號？www.zhihu.com
建議看上面這個，易於理解
litux：開 2 次方可以手算，但開 n(n>2，n∈z) 次方有手算的方法嗎？www.zhihu.com
這是手動開方的方法，假如你不會手動開方可以看看這篇文章。以下所有開根號我們都取三位，這是在保證精度和運算簡單的前提下的最好選擇。
由ln(x+1)>2x/(x+2)可知，我們估算值會比實際值低一些，為了增加精度且計算方便，我們對√1.5取前三位為1.224，為了減小誤差我們取1.225。√1.225手動開方取前三位得1.106，我們取1.107。
同樣道理我們可對ln2估值。√2手動開方為1.414取1.415，√1.415取前三位為1.189，取1.19，0.19可以進行估算了
算到1.19時千萬別覺得你還能再開方運算，那樣並不會變精細，首先你不斷開根號得到的結果的誤差我們並不知道是變大還是變小，就算變小也不會小太多，比如你開6次根號，那麼你得到的數參與放縮後還要乘以64，誤差被大幅放大，千萬別接著開，只會誤差越來越大。
至此，我們可以得到ln10=2ln2+2ln1.5+ln1.11+△y
事實上，我們若是能背下來ln2與ln3就可以快速得到近似結果且精度大幅提高
取0.6931
取1.098，以ln2，ln3做基數，我們可估任意對數(高精度)
更可輕鬆的把上述的ln10以更快速度，更高精度完美估算出來。
ps：估值可以通過簡單化簡後用高階帕得逼近可瞬間計算出超高精度數值
有時間我會接著補充其它比如指數等的估值
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