瞬時頻率
1瞬時頻率的定義
瞬時頻率是最直觀的概念,我們每天都能感受到這種經驗現象,如變換著的顏色、變換著的音調等等。但是對變換著的頻率的精確的數學描述和對其概念的理解還算不上確切,到現在為止一直是乙個有爭議的問題。
石顯：hht變換——固有模態函式和經驗模式分解zhuanlan.zhihu.com
在接受瞬時頻率的概念的問題上,存在著兩個主要的困難。第一困難源於影響深遠的傅利葉譜分析理論。在傳統的傅利葉分析中,頻率被定義為有著恆定幅度的完整的正弦或余弦波形,並且其持續時間是無限的。因此,我們至少需要乙個完整的正弦或者余弦振盪波形來定義區域性頻率的值,依照這樣的邏輯,短於乙個完整週期的訊號將無法計算瞬時頻率。而對於頻率在時刻改變著的非平穩資料來說,這樣的定義是完全沒有意義的。第二個困難是瞬時頻率定義的非唯一性,但是通過希爾變換將訊號變為解析訊號,這個困難己不再突出了。對於任意給定的時間訊號x(t),我們可以得到它的希爾伯特變換y(t),即：
希爾伯特變換通過將訊號與1/ t相卷積,得到了訊號虛部的唯一確定表示，同時其特別強調了訊號的區域性特性。極座標形式的表示式更一步顯現了這種特性,其是幅度a(t)和相位θ(t)的最好的區域性描述,因為此時a(t)和θ(t)都是時間的函式。如果訊號z(t)具有頻譜,即有:
由公式(2-6)可知,對於給定的時刻僅有唯一的瞬時頻率值與之相對應,因此其只能表示單一分量訊號。因此,這個定義是有爭議的。科恩提出了多分量訊號的概念,但他並未給出多分量訊號的確切定義,因而人們無從判斷乙個訊號或者函式是不是多分量的。在很多情況下,為了符合瞬時頻率的定義,「窄帶訊號」經常作為選擇訊號的標準。
2. 瞬時頻率的解釋
同時,關於瞬時頻率概念有幾種自相矛盾的理解上的難點。首先,瞬時頻率可以不是頻譜中的頻率之一。其次,如果有只由少數明顯的頻率組成的乙個線狀頻譜,那麼瞬時頻率可以是連續的,而且在無數個值範圍內變化。第三,雖然解析訊號的頻譜對於負頻率為零,但瞬時頻率可以是負的。第四,對於乙個頻寬有限的訊號,它的瞬時頻率可以在頻帶之外。第五,如果瞬時頻率是在t1,時刻存在的頻率表示,那麼人們會推測:訊號在很長時間之前做什麼,而在未來將要做什麼都是無關緊要的,只有現在才是應該考慮的。讓我們看乙個簡單的例子來說明以上幾點。考慮
幅度和頻率取固定的值後,可以得到圖2.1,通過該圖可以證實以上難點的前四點;另外,如圖2.1所示,在頻帶外出現了負頻率,負頻率在實際中是沒有意義的。為了說明獲得有意義的瞬時頻率的條件,讓我們再來考察這個簡單的函式:
預料的一樣是一常量。當a<1,圓心偏離原點,但原點仍然在圓中;這時其傅利葉頻譜將含有直流項,其相位函式的均值是與a=0時的情況一樣的,但是瞬時頻率卻有很大不同,如圖.22中(c)所示。當a>1,原點將不在單位圓中,這時相位和瞬時頻率都將呈現負值,如圖.22(b)(c)中所示的,是沒有實際物理意義的。這個簡單的例子從物理上說明:對於像正弦函式這樣簡單的函式來說,只有當我們限制函式區域性關於零均值對稱的情況下,瞬時頻率才`能合理定義。
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