$f(t) = \frac+\displaystyle_}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))$
組成的基礎波形為乙個訊號對，分別為$cos(2\pi t)$以及$sin(2\pi t)$，波形的頻率覆蓋範圍為$k=1,2,3,\cdots$（角頻率為$2\pi k$），在這些頻率上的係數（即振幅）對為$(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3),\cdots$。
上面的式子可以進一步推導成傅利葉級數形式：
$f(t) = \displaystyle_c_ke^ }$
從這個表現形式看出，組成的基礎波形為$e^$，波形的頻率覆蓋範圍是$k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$（角頻率為$2\pi k$），在這些頻率上的係數為$c_0, c_, c_, c_, \cdots$，這些係數由下面的式子得到：
$c_k = \displaystyle^f(t)e^dt}$
如果我們把記錄訊號在時間上的值的函式$f(t)$稱作該訊號在時域上的表現的話，那麼該訊號在頻率$k$上的係數$c_k$就是該訊號在頻域上的表現。傅利葉係數的物理意義就是訊號在對應頻率上的振幅。
為了把傅利葉的理論應用到一般訊號，我們把週期擴充套件到$t\to\infty$，那麼訊號$f(t)$的傅利葉級數變成：
$f(t) = \displaystyle\sum_^c_ke^t} }$
此時的傅利葉係數變成：
$c_k = \displaystyle\frac\int_}^}f(t)e^t}dt }$
可以看到由於訊號$f(t)$在$(-\infty,\infty)$上是可積的，當$t$被擴充套件到無窮的時候傅利葉係數$c_k$被稀釋成$0$了，因此可以認為一般訊號在各個頻率上的傅利葉係數（振幅）為$0$。這種結果對於我們進行傅利葉分析是沒有用處的，因此有了如下傅利葉變換：
令$\displaystyle f(s) =c_k \times t = \int_^e^f(t)dt }$
其中$s = \frac$，即原本是離散的頻率$k$被擴充套件成了覆蓋$(-\infty,\infty)$的連續變數$s$，因此可以得到
$f(t) = \displaystyle^\mathcal f(s)e^ds }$
其中$ds = \frac$，$s$是可以覆蓋所有頻率的變數。
$\displaystyle f(s) }$就是訊號$f(t)$的傅利葉變換。但此時傅利葉變換不再具有傅利葉係數的物理意義。
plancherel's formula
plancherel's formula有如下定義：
$\displaystyle^f(t)\overline\,dt=\int_^f(s)\overline\,ds}$
證明：$\begin\int_^f(t)\overline\,dt
&=\int_^\left(\int_^f(s)e^\,ds \right )\overline^g(s')e^\,ds' \right )}\,dt \\
&=\int_^\left(\int_^f(s)e^\,ds \right )\left(\int_^\overlinee^\,ds' \right )\,dt \\
&=\int_^\int_^f(s)\overline\int_^e^\,dt\,ds'\,ds \\
&=\int_^\int_^f(s)\overline\delta(s'-s)\,ds'\,ds\qquad \mathcale^ = \delta(s'-s)\ ,variable\ is\ s'\\
&=\int_^f(s)\int_^\overline\delta(s'-s)\,ds'\,\,ds \\
&=\int_^f(s)\,\overline\,ds \qquad \delta\ shift\ theorem\\
\end$
energy spectral density
根據plancherel's formula，可以得到
$\begin
\int_^|f(t)|^2\,dt
&=\int_^f(t)\overline\,dt\\
&=\int_^f(s)\overline\,ds\\
&=\int_^|f(s)|^2\,ds
\end$
假設有乙個物理實驗，目的是測量電流通過某個電阻時所產生的能量，已知電阻兩端的電勢差會隨著時間變化，為$v(t)$，電阻的阻抗為$r$，那麼所產生的能量為：
$\displaystyle^\fracdt}$
此時回顧上面所得到的式子
$\displaystyle^|f(t)|^2\,dt=\int_^|f(s)|^2\,ds}$
首先是等號左邊：其中訊號$f(t)$可以認為是電勢差隨著時間的變化，如果我們忽略電阻抗後，可以認為產生的能量為$\displaystyle^|f(t)|^2\,dt}$。等號右邊的$s$，按照我們前面的討論，$s$代表的就是頻率，因此$|f(s)|^2$可以看作訊號的能量在頻域上的能量密度函式（energy spectral density）。如下圖，寬度為$ds$的頻率所蘊含的能量大小為$|f(s)|^2ds$
如果我們對訊號進行帶通濾波，那麼被過濾掉的頻率就無法再繼續貢獻能量，esd上就會缺少被過濾掉的頻率所對應的區域，相應地傅利葉變換也會缺少被過濾掉的頻率所對應的區域。
傅利葉變換的物理意義
1 為什麼要進行傅利葉變換，其物理意義是什麼？傅利葉變換是數字訊號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅利葉變換演算法的意義，首先要了解傅利葉原理的意義。傅利葉原理表明 任何連續測量的時序或訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波訊號的無限疊加。而根據該原理創立的傅利葉變換演算法利用直接測量到的原始訊號，以...
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