傅利葉變換網文精粹：從光學的物理意義看傅利葉變換
這裡沒有數學公式，倒不是像費曼那樣高風亮節，而是這裡輸入公式太煩，不然...
突然說這個話題是因為在水房洗衣的時候，一數學系正在刮鬍子的哥們突然問我傅利葉變換的物理意義是什麼？當時我就宕機了，不知怎麼答。
傅利葉變換伴隨了我四年，從數學分析課上學會計算，然後光學中的夫朗和費衍射，接著訊號處理，然後是srtp中的數字全息都和這個息息相關，可是，課堂上強調的是會算，會用就行了，而對其物理意義，書上語焉不詳，老師隻字未提。
傅利葉變換的產生，是乙個叫約瑟夫.傅利葉的法國人《熱的分析理論》中作為乙個數學工具而引入的，所以它的發展一直在其工具出身的陰影下，對於其意義不同學科有不同版本的闡釋，但更多的是作為乙個計算工具輔助計算，所以要我說其有什麼物理意義，一時間真的不知怎麼回答。
於是我只好舉個例子，傅利葉變換在光學上的物理意義。
我們都知道，會聚透鏡（簡單地說，就是普通的凸透鏡啦）除了具有成像性質外，最有用的就是它還具有進行二維傅 立葉變換的本領。由物理光學可知，在單位振幅的平面光波垂直照明下 的夫朗和費衍射，恰好實現衍射屏透過率函式的傅利葉變換。
即一束光通過凸透鏡在焦平面上採集到的影象即為這束光的頻率空間資訊，亦即數學上對這束光進行一次傅利葉變換後的結果。
所以傅利葉變換在這裡的物理意義就是將光的空間分布轉換為頻率分布（相空間），在靠近原點的部分為影象低頻部分，遠離原點部分為影象高頻部分。
這時那哥們就問：那麼變換後高頻部分對應影象的哪一部分呢？因為有個老師講課時說，原來原點部分對應變換後距原點無窮遠處，而原來的無窮遠處則對應變換後的原點。（我突然想起了倒易空間，聯想到這個沒什麼道理）
直覺上我覺得這樣說是錯誤的，因為傅利葉變換並非一一對應的，頻率空間上任何一處，哪怕只有一點都與原來的整幅影象有關，也就是說，這是非局域性的。
舉個例子，全息圖，任取全息圖的一部分還原（做一次逆傅利葉變換）成的影象都是原來的整幅影象，但由於高頻資訊的缺失所以還原影象比原影象要模糊。
而頻率空間體現的是什麼呢？是原影象的變化程度。舉個最簡單的例子，一束平行光經過凸透鏡後在焦平面（即頻率空間）上會聚為一點，在數學上就是平面波函式經過傅利葉變換後得到乙個常量（訊號處理上又稱為直流量），意思是原來的影象（平面波）沒有「起伏」（即光強變化，因為是平行光），所以在原點（低頻）處有一點強光，數學上是衝擊函式，這樣搞過訊號的人大概會共鳴了吧。
沒錯！訊號書上經典例題，對階躍函式和衝擊函式通過傅利葉變換在物理光學上的對應就是平行光通過凸透鏡。
這就是傅利葉變換在光學上的物理意義，至於傅利葉變換在量子力學上的意義...不寫公式光靠文字描述的話我講不清楚。
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