離散時間訊號處理學習筆記 9 z變換性質

z變換描述

$x[n] \stackrel}x(z) ,\quad roc=r_x$

序列$x[n]$經過z變換後得到復變函式$x(z)$，該函式的收斂域為$r_x$

z變換的線性性質

$ax_1[n]+bx_2[n] \stackrel} ax_1(z)+bx_2(z),\quad roc\ contains\ r_\cap r_$

證明：

$\begin\sum_^(ax_1[n]+bx_2[n])z^

&=\sum_^ax_1[n]z^+\sum_^ax_2[n]z^\\

&=ax_1(z)+bx_2(z)

\end$

$x_1(z)$以及$x_2(z)$的收斂域分別為$r_$以及$r_$，不過他們兩個組合後可能會使得某些極點被消除，即線性組合後的z變換的收斂域與相交收斂域相比，可能會多出這些可能被消除的極點，所以這裡用「包含（contains）」。

z變換的時移性質

$x[n-n_0]\stackrel} z^x(z),\quad roc=r_x$

證明：

$\begin\sum_^x[n-n_0]z^

&=\sum_^x[m]z^\quad letting\ m=n-n_0\\

&=\sum_^x[m]z^z^\\

&=z^x(z)

\end$

指數相乘性質

$z_0^nx[n]\stackrel}x\left(\frac\right),\quad roc=|z_0|r_x $

證明：

$\begin\sum_^z_0^nx[n]z^

&=\sum_^x[n]\left(\frac\right)^\\

&=x\left(\frac\right)

\end$

微分性質

$nx[n] \stackrel} –z\frac,\quad roc=r_x$

證明：

$\begin\sum_^nx[n]z^

&=\sum_^nx[n]z^\\

&=-z\sum_^(-n)x[n]z^\\

&=-z\sum_^\frac\right)}\\

&=-z\frac^x[n]z^}\right)}\\

&=-z\frac

\end$

共軛性質

$x^*[n] \stackrel} x^(z^*),\quad roc=r_x$

證明：

$\begin

\sum_^x^*[n]z^

&=\sum_^(|x[n]|cos\angle x[n]-i|x[n]|sin\angle x[n])[|z^|cos\angle (z^)+i|z^|sin\angle(z^)]\\

&=\sum_^|x[n]|(cos \phi - isin\phi)|z^|[cos(-n\theta)+isin(-n\theta)] \quad letting\ \phi=\angle x[n],\theta=\angle (z)\\

&=\sum_^|x[n]z^|\\

&=\sum_^|x[n]z^|[cos(\phi+n\theta)+isin(-n\theta-\phi)]\\

&=\sum_^|x[n]z^|[cos(\phi+n\theta)-isin(n\theta+\phi)]\\

\end$

又已知$\displaystyle^x[n]z^=\sum_^|x[n]z^|[cos(\phi-n\theta)+isin(\phi-n\theta)]}$

對比兩個式子的結果，得證。

時間倒置性質

$x[-n]\stackrel}x\left( \frac \right),\quad roc=\frac$

證明：

$\begin

\sum_^x[-n]z^

&=\sum_^x[m]z^\quad letting\ m=-n\\

&=\sum_^x[m]\left( \frac\right )^m\\

&=x\left(\frac \right )

\end$

卷積性質

$x_1[n]*x_2[n] \stackrel}x_1(z)x_2(z),\quad roc\ contains\ r_\cap r_$

證明：

$\begin

\sum_^(x_1[n]*x_2[n])z^

&= \sum_^\left(\sum_^x_1[k]x_2[n-k]\right)z^\\

&= \sum_^x_1[k]\left(\sum_^x_2[n-k]z^ \right )\\

&= \sum_^x_1[k]\left(\sum_^x_2[m]z^ \right )\quad letting\ m=n-k \\

&= \left(\sum_^x_1[k]z^ \right )\left(\sum_^x_2[m]z^ \right )\\

&= x_1(z)x_2(z)

\end$

離散時間訊號處理學習筆記 9 z變換性質

z變換描述 x n stackrel x z quad roc r x 序列 x n 經過z變換後得到復變函式 x z 該函式的收斂域為 r x z變換的線性性質 ax 1 n bx 2 n stackrel ax 1 z bx 2 z quad roc contains r cap r 證明 be...

離散時間訊號處理學習筆記 8 z逆變換

z逆變換的計算為下面的複數閉合曲線積分 x n displaystyle oint x z z dz 式中 c 表示的是收斂域內的一條閉合曲線。該積分表示式可以利用複數變數理論下的柯西積分定理推導得到。不過本門課程用不上這條式子，因為在離散lti系統分析中所遇到的典型序列和z變換，有如下更簡單的z逆...

數字訊號處理學習筆記一 離散時間訊號與離散時間系統

參考書 數字訊號處理 理論 演算法與實現 第二版 胡廣書 清華大學出版社 1.離散時間訊號的基本概念 1 離散訊號概述 a 連續時間訊號x t 離散時間訊號 x nts 離散時間序列x n 離散訊號 數碼訊號 b 用有限位的數碼訊號表示無限精度的模擬訊號，帶來量化誤差 2 典型離散訊號 a 單位抽樣...