z逆變換的計算為下面的複數閉合曲線積分：
$x[n] = \displaystyle}\oint_x(z)z^dz$
式中$c$表示的是收斂域內的一條閉合曲線。該積分表示式可以利用複數變數理論下的柯西積分定理推導得到。不過本門課程用不上這條式子，因為在離散lti系統分析中所遇到的典型序列和z變換，有如下更簡單的z逆變換求解辦法。
下面是乙個常見序列的z變換**，通過查表可以由z變換所得的函式反過來求得原序列
sequence
transform
region of convergence
1. $\delta[n]$
$1$for all $z$
2. $u[n]$
$\frac}$
$|z|>1$
3. $-u[-n-1]$
$\frac}$
$|z|<1$
4. $\delta[n-m]$
$z^$
$z\neq\left\0 &,& m>0 \\ \infty &,&m<0\end\right.$
5. $a^nu[n]$
$\frac}$
$|z|>a$
6. $-a^nu[-n-1]$
$\frac}$
$|z|7. $na^nu[n]$
$\frac})^2}$
$|z|>a$
8. $-na^nu[-n-1]$
$\frac})^2}$
$|z|9. $cos(\omega_0n)u[n]$
$\frac}+z^}$
$|z|>1$
10. $sin(\omega_0n)u[n]$
$\frac}+z^}$
$|z|>1$
11. $r^ncos(\omega_0n)u[n]$
$\frac}+r^2z^}$
$|z|>r$
12. $r^nsin(\omega_0n)u[n]$
$\frac}+r^2z^}$
$|z|>r$
13. $\left\a^n ,& 0\leqslant n\leqslant n-1\\0 ,& else\end\right .$
$\frac}}$
$|z|>0$
不過也經常出現輸入序列為組合序列的情況，這種序列的z變換就是它的組成序列的z變換的線性組合。
如果某個輸入序列是這些典型序列的線性組合，那麼這個輸入序列的z變換就能表示成各個典型序列的z變換之和
$x_1[n]+x_2[n]+x_3[n]+\cdot\cdot\cdot\stackrel}x_1(z)+x_2(z)+x_3(z)+\cdot\cdot\cdot$
分式展開法
觀察上面的**可以發現大多數典型序列的z變換都是分數形式，因此這些z變換的組合可以假設為
$\displaystyle\frac^(1-c_kz^)}^(1-d_kz^)}}$
其中$c_k$是$x(z)$的非零值零點，$d_k$是$x(z)$的非零值極點。分母是各個典型序列的分母的乘積，把各個典型序列的z變換（分數）相加就能得到上面的式子。
$m若$m$x(z) = \displaystyle^\frac}}$
此時，等式兩邊乘以$(1-d_kz^)$，並取$z$等於其中的某個極點$z=d_k$，可以消去等式右邊除了$a_k$之外所有的項
$(1-d_kz^)x(z)|_ = a_k$
按照這種計算方式可以得到所有的$a_k$，然後通過查表即可得到各個和式所對應的序列。
$m\geqslant n$
若$m\geqslant n$則可以用長除法，分子除以分母以使得分式的$m$x(z) = \displaystyle^b_rz^ +\sum_^\frac}}$
重複極點
如果$x(z)$有多重極點在$z=d_i$，階數為$s$（在該極點上有$s$個重複極點）,而且$m\geqslant n$，那麼有
$x(z) = \displaystyle^b_rz^ +\sum_^\frac}+\sum_^s\frac)^m}}$
其中$c_m$由如下式求得
$\displaystyle}}\left\}}[(1-d_i\omega)^sx(\omega^)]\right \}_}$
例子考慮有一串行$x[n]$，其z變換為
$x(z) = \frac+z^}z^+\fracz^}=\frac)^2}z^ \right )(1-z^)}\qquad |z|>1$
右下圖為$x(z)$的零-極點圖
因此$x(z)$可表示為
$x(z) = b_0+\fracz^}+\frac}$
其中常數$b_0$能用長除法求得
$\begin
& &2\\
&z^-\fracz^+1} &\overline+2z^+1\right.}\\
& &\underline-3z^+2}\\
& &5z^-1
\end$
餘項為一次項，即$m$x(z) = 2+\frac}z^ \right )(1-z^)}$
接下來求係數$a_1$以及$a_2$
$\begin
a_1 &= \left[\left(2+\frac}z^ \right )(1-z^)} \right )\left(1-\fracz^ \right ) \right ]_ = -9\\
a_1 &= \left[\left(2+\frac}z^ \right )(1-z^)} \right )\left(1-z^ \right ) \right ]_ = 8
\end$
因此$x(z) = 2-\fracz^}+\frac}$
查表可得
$x[n] = 2\delta[n]-9\left( \frac \right)^nu[n]+8u[n]$
如果$x(z)$由如下冪級數的形式給出時
$x(z) = \cdot\cdot\cdot+x[-2]z^+x[-1]z^+x[0]+x[1]z^+x[2]z^$
如果該多項式長度有限，我們就能得到該序列的所有的值。
如果該多項式無限長，我們可以觀察該多項式是否能表示成如下形式
$x(z) = \displaystyle^f(n)z^ }$
如果能轉換成這種形式，就可以得到序列$x[n] = f(n)$
離散時間訊號處理學習筆記 9 z變換性質
z變換描述 x n stackrel x z quad roc r x 序列 x n 經過z變換後得到復變函式 x z 該函式的收斂域為 r x z變換的線性性質 ax 1 n bx 2 n stackrel ax 1 z bx 2 z quad roc contains r cap r 證明 be...
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perl學習筆記8 z
1 用 printf 和sprintf 格式化輸出 函式printf 有如下的格式化功能 a 圓整浮點數至十進位制的某位。b 以小數點來對齊一列數。c 右對齊和左對齊輸出。d 在輸出行的準確位置插入文字字元。e 以指數形數來顯示浮點數 f 以八進位制或十六進製制的形式顯示無符號的整數。g 用固定字段...