證明：由題意可得，(ab)^2=ab, a^2=a, b^2=b, (ab)^2 = (a^2) * (b^2), abab = aabb, 故ba = ab。
若r為整環，ab=ba=0，滿**換律。
若r不為整環，ab=0且a和b均不等於0，(ba)^2 = ba = baba = 0，依舊滿**換律。
3.記z[√2]=，請證明z[√2]是環，且是整環證明:**
·顯然，z[√2]，在加法上成群，單位元為0，且是阿貝爾群
·對於乘法，任取a,b,c, d ∈ z，有
· (a+ b√2)(c +√2)=(ac ＋2bd)+(ad + bc)√2 ∈ z[√2],乘法封閉性得證。
·乘法對加法分配律和乘法結合律(好像易得)所以z[√2]成環
·整環證明:
假設存在a,b不同為0，c,d不同時為0，若(a ＋b√2)(c +d√2)=0則(a ＋√2)(c+d√2)=(ac + 2bd)+(ad ＋ bc)√2=0,則(ac+2bd)=0，且(ad+bc)=0(因為這兩個式子的結果為整數，所以只能等於0)，聯立得c/d =√2,又c,d為整數，所以假設不成立，同理可解得當(a +b√2)(c+ dv2)=0時，a=0且b=0或c=0且d=0,整環得證。
記 z [i] =，證明z[i]是整環。**
顯然，在加法上成群，單位元為0。
封閉性和上面第3題一樣的證法，乘法對加法分配律，乘法結合律也一樣
整環證明
存在任意整數a,b,c,d (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0,因為ac-bd為整數 ad+bc為整數，所以ac-bd=0,ad+bc=0,解為a,b同時為0 或c,d同時為0 則(a+bi)=0或(c+di)=0 整環得證
如果i和j都是交換環r的理想，則 i+j= 也是r的理想。**
由理想的吸收性 則對任意r∈r, 對於任意i∈i,存在k∈i且 rk=i。同理對於任意j∈j,存在z∈j且 rz=j。易得 k + z ∈ i + j, r ( k + z ) = r k + r z = i + j ∈ i , 所以 r ( i + j ) ⊂ i + j , 同理得 ( i + j ) r ⊂ i + j, 所以i+j也是r的主理想。
命題12.4**
設對映 ϕ: r→ r ′ 是環同態，則
1 如果r是交換環，則 ϕ ( r )也是交換環。
2 分別記0和0『是r和r』的加法單位元， ϕ ( 0 ) = 0 ′
3 分別記1和1『是r和r』的乘法單位元，如果 ϕ 是滿射，則 ϕ ( 1 ) = 1 ′
證明：任意 a , b ∈ r
1 如果r是交換環,則a+b=b+a, ab=ba 所以 ϕ (a+b) = ϕ (b+a) = ϕ (a) + ϕ (b) = ϕ (b) + ϕ (a) ; ϕ (ab) = ϕ (ba) = ϕ (a) ϕ (b) = ϕ (b) ϕ (a) 。ϕ®是交換環。
2 0是r的加法單位元 a+0=0+a=a,所以 ϕ ( a + 0 ) = ϕ ( 0 + a ) = ϕ ( a ) = ϕ ( a ) + ϕ ( 0 ) = ϕ ( 0 ) + ϕ ( a ) , 易得 ϕ ( 0 )為r『的加法單位元,所以 ϕ ( 0 ) = 0 ′ 。
3 1為r的單位元，則1*a=a，因為 ϕ為滿射，則對 a 』 ∈ r 』,有ϕ(a)=a』。所以ϕ(1a)=ϕ(a)=ϕ(1)ϕ(a),所以ϕ(1)為r『的乘法單位元1』，所以1 ′=ϕ(1)。
CINTA加分作業2
第一題 當g是阿貝爾群時，任取h1n1，h2n2 hn，h2n2 1 n2 1 h2 1 所以 h1n1 h2n2 1 e h，所以hn是g的子群，當g不是阿貝爾群時，hn不具有封閉性，不是群。第二題 任取h1k1，h2k2 hk，則 h1k1 h2k2 1 h1k1k2 1 h2 1 設k1k2 ...
作業十二 總結
一 知識點 1.字串的複製 連線.1 字串的複製 strcpy str1,str2 2 字串的連線 strcat同上 3 字串的比較 strcmp同山 4 求字串長度 strlen同上 字串和字元指標 2.如果定義乙個字元指標接收字串常量的值，該指標就指向字串的首字元。這樣，字元陣列和字元指標都可以...
十二章作業
1，在server主機中把 etc目錄中打包壓縮到 mnt中，名字為etc.tar.gz 在shell中輸入命令 tar zcf mnt etc.tar.gz etc 結果如圖 2.複製server主機中的etc.tar.gz到desketop主機中的 mnt中 在shell中輸入命令 scp mn...