2018-03-09
求解一元三次方的公式
請輸入你的答案。。。一元三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」 一元三次方程的一般形式是 x3 sx2 tx u=0 如果作乙個橫座標平移y=x s/3,那麼我們就可以把方程的二次項消 去。所以我們只要考慮形如 x3=px q 的三次方程。 假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這裡a和b是待定的引數。代入方程,我們就有 a3-3a2b 3ab2-b3=p(a-b) q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p 3ab) q 由二次方程理論可知,一定可以適當選取a和b,使得在x=a-b的同時,3ab p=0。 這樣上式就成為 a3-b3=q 兩邊各乘以27a3,就得到 27a6-27a...全部
請輸入你的答案。。。一元三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」 一元三次方程的一般形式是 x3 sx2 tx u=0 如果作乙個橫座標平移y=x s/3,那麼我們就可以把方程的二次項消 去。所以我們只要考慮形如 x3=px q 的三次方程。
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這裡a和b是待定的引數。代入方程,我們就有 a3-3a2b 3ab2-b3=p(a-b) q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p 3ab) q 由二次方程理論可知,一定可以適當選取a和b,使得在x=a-b的同時,3ab p=0。
這樣上式就成為 a3-b3=q 兩邊各乘以27a3,就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 p = 27qa3 這是乙個關於a3的二次方程,所以可以解得a。
進而可解出b和根x。除了求根公式和因式分解外還可以用圖象法解,中值定理。很多高次方程是無法求得精確解的,對於這類方程,可以使用二分法,切線法,求得任意精度的近似解。參見同濟四版的高等數學。一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3 bx^2 cx d 0的標準型一元三次方程形式化為x^3 px q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。我歸納出來的形如 x^3 px q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=a^(1/3) b^(1/3)型,即為兩個開立方之和。
歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方裡面的內容,也就是用p和q表示a和b。方法如下：(1)將x=a^(1/3) b^(1/3)兩邊同時立方可以得到 (2)x^3=(a b) 3(ab)^(1/3)(a^(1/3) b^(1/3)) (3)由於x=a^(1/3) b^(1/3),所以(2)可化為 x^3=(a b) 3(ab)^(1/3)x,移項可得 (4)x^3－3(ab)^(1/3)x－(a b)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3 px q=0作比較,可知 (5)－3(ab)^(1/3)＝p,－(a b)=q,化簡得 (6)a b＝－q,ab＝-(p/3)^3 (7)這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為a和b可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關於形如ay^2 by c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即 (8)y1＋y2＝－(b/a),y1*y2=c/a (9)對比(6)和(8),可令a＝y1,b＝y2,q＝b/a,-(p/3)^3＝c/a (10)由於型為ay^2 by c=0的一元二次方程求根公式為 y1＝－(b＋(b^2－4ac)^(1/2))/(2a) y2＝－(b－(b^2－4ac)^(1/2))/(2a) 可化為 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a) ((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 將(9)中的a＝y1,b＝y2,q＝b/a,-(p/3)^3＝c/a代入(11)可得 (12)a＝－(q/2)-((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2) b＝－(q/2) ((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2) (13)將a,b代入x=a^(1/3) b^(1/3)得 (14)x=(－(q/2)-((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2))^(1/3) (－(q/2) ((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2))^(1/3) 後記：一、(14)只是一元三方程的乙個實根解,按韋達定理一元三次方程應該有三個根,不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中乙個根,另兩個根就容易求出了。
由於計算太複雜及這個問題歷史上已經解決,我不願花過多的力氣在上面,我做這項工作只是想考驗自己的智力,所以只要關鍵的問題解決了另兩個根我就沒有花力氣去求解。二、我也曾用類似的方法去求解過一元四次方程的解,具體就是假設一元四次方程的根的形式為x=a^(1/4) b^(1/4) c^(1/4),有一次我好象解出過,不過後來多次求解好象說明這種方法求解一元四次方程解不出。
不過我認為如果能進一步歸納出a、b、c的形式,應該能求出一元四次方程的求根公式的。由於計算實在太複雜及這個問題古人已經解決了,我後來一直沒能完成這項工作。三、通過求解一元三次方程的求根公式,我獲得了乙個經驗,用演繹法(就是直接推理)求解不出來的問題,換乙個思維,用歸納法(及通過對簡單和特殊的同類問題的解法的歸納模擬)常常能取得很好的效果。
事實上人類常常是這樣解決問題的,大科學家正是這樣才成為大科學家的。收起
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