線性變換及其矩陣表示和相似變換
給定一組有限維向量空間v的基，乙個線性變換t: v->v'的關於這組基的「矩陣分量」[t(i,j)]，定義為:
t ej = sigma(i = 1 to n, t(i,j) ei) = t(1,j) e1 + t(2,j) e2 + ... t(n,j) en
也就是說，這個線性變換把基向量ej變換成乙個新向量，它是基向量的如是的乙個線性組合，而係數是這個(nxn)矩陣[t]的列向量，第j列對應ej。故而在一組基向量下，就有這麼個乙個線性變換到矩陣(係數矩陣或座標變換矩陣)的一一對應：
t (e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [t]
再次注意t代表線性變換，[t]是t在基向量組(e1,e2,...,en)下的對應矩陣。如果換一組基向量，同樣的線性組合就有不同的對應矩陣。
現在考慮基向量組的線性變換a(將一組基向量變換到另一組基向量)及其逆變換a'，套用上面公式
(e1,e2,...,en) = a(e1',e2',...,en') = (e1',e2',...,en') [a]
(e1',e2',...,en') = a'(e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [a']
顯然有[a'][a] = [i]
乙個向量v = (e1,e2,...,en) [v]，其中列向量[v]顯然就是座標。
那麼它由另一組基表示v = (e1',e2',...,en') [v']，則有 [a][v] = [v']。這就是基變換下的對應的座標變換。
由線性變換的性質可得：
t(e1,e2,...,en) [v] = te1 v1 + te2 v2 + ... ten vn = t ((e1,e2,...,en)[v])
於是：(e1',e2',...,en')[t'][x'] = t(e1',e2',...,en') [x'] = ta'(e1,e2,...,en) [a][x] = (e1,e2,...,en)[a'][t'][a][x] = (e1,e2,...,en)[t][x]
注意，ta'(e1,e2,...,en) [a]並不等於ata'(e1,e2,...,en)(由此會得出荒唐結論)，因為[a]不是基向量組ta'(e1,e2,...,en)下a的對應的變換矩陣。
上述說明，同乙個線性變換t，在基向量組[e']下的矩陣是[t']，則在基向量組[e]下的矩陣為[t] = [a'][t'][a]。
特徵值與特徵向量
如果存在非零的向量v，有s v = l v，則l是s的乙個特徵值，v是對應的特徵向量。
對於任意l，容易證明vl = 是乙個線性空間。它包含所有l對應的特徵的向量。如果l不是s的特徵值，則顯然vl = 。
(未完待續)
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