1、課題：**原函式與導函式的關係首師大附中 數學組 王建華設計思路這節課是在學完導數和積分之後，學生從大量的例項中對原函式和導函式的關係有了一定的認識的基礎上展開教學的。由於這部分內容課本上沒有，但數學內部的聯絡規律和對稱美又會使學生既覺得有挑戰性又充滿**的興趣。備這個課的過程中我雖然參考了大量已有的資料，但需要做更深入地思考這些命題間的聯絡，以什麼方式展開更利於學生拾級而上，最終登上高峰體會一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實際上是在引導學生進行一次理論的探險，大膽地猜，小心地證，謹慎地修改條件，步步逼近真理。最終學生能否記住這些結論並不重要，重要的是研究相互關聯的事物的一般思路和方法。對優秀生。
2、或熱愛數學的學生來說會有更多的收穫。整個教學流程1. 從經驗觀察發現，猜想得命題p,q. 這兩個命題為真命題，證明它們的方法用復合函式求導，比較容易上手。2. 學生自然會想到這個命題的逆命題是否成立，嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發現由於導數確定後原函式不能唯一確定，有上下平移的可能，這樣關於y軸對稱的性質能夠保持，但關於原點對稱的性質就不能保證了。3. 函式的平移不改變函式圖象的對稱性，因此將奇函式的性質拓展為關於中心對稱，將偶函式的性質拓展為關於直線對稱，研究前面的四個命題還是否成立。研究方法可以模擬遷移前面的方法。能成立的嚴格證明，不能成立的舉出反例，並嘗試通過改變條件使之成為真命題。
3、。4.已有成果的應用：利用二次函式的對稱性性質研究三次函式的對稱性。教學目標在這個**過程中1.加強學生對導函式與原函式相生相伴的關係的理解；2.增強學生對函式對稱性的理解和抽象概括表達能力；3體驗研究事物的角度，乙個新定理是怎樣誕生的，怎樣才是全面地認識了乙個事物。4.培養學生的思辨能力，分析法解決問題的能力，舉反例的能力等等。教學重點以原函式與導函式的對稱性的聯絡為載體讓學生體驗觀察發現、概括猜想、辨別真偽的過程。教學難點靈活運用所學知識探索未知領域。新課引入前面解題時我們常根據導函式的符號示意圖畫出原函式的單調性示意圖，你能根據原函式的影象畫出導函式的示意圖嗎？一 **由原函式的奇偶性能。
4、否推出導函式的奇偶性。問題1 已知函式的影象，請嘗試畫出其導函式的影象示意圖。yxoxyoyxooxyxyo導函式的實質是原函式的瞬時變化率，導函式的正負反應了原函式的單調性，導函式的大小反應了原函式增減的快慢。從影象的整體性質上看，你還有什麼發現？猜想p : 可導的奇函式的導函式是偶函式，猜想q: 可導的偶函式的導函式是奇函式。問題2 你能根據圖象上解釋一下你的猜想嗎？奇函式關於原點中心對稱，它的曲線在原點兩側等距離處公升降速度相同，即切線斜率相等；偶函式關於y軸對稱，它的曲線在y軸兩側等距離處公升降速度絕對值相等，即切線斜率互為相反數。問題3嘗試證明你的猜想p: 已知是可導的奇函式，求證時偶函。
5、數分析1：欲證時偶函式，只需證若將理解將中的替換為得到的函式，可以用導數定義證明。證明：當是奇函式時,對定義域中的任意都有所以時偶函式分析2.用復合函式求導證明：當是奇函式時，對定義域中的任意都有兩邊對求導得，即得，所以時偶函式命題 q 同理可證.思考：看來已知原函式的奇偶性，我們可以確定導函式的奇偶性，那麼已知導函式的奇偶性能否推知原函式的奇偶性呢？命題p和q的逆命題是否成立呢？二**由導函式的奇偶性能否推出原函式的奇偶性。問題4 p和q的逆命題是否成立？p的逆命題：若是偶函式，則奇函式此命題不正確，可舉出反例：如是奇函式，而原函式當c不為0時，原函式不是偶函式。這是什麼原因造成的呢？因為原。
6、函式定了，導函式是唯一確定的，而同乙個導函式的原函式有無窮多個。乙個函式向上或向下平移後導函式是不變的，直觀理解是切線的斜率不變。而函式上下平移就不能保證圖象關於原點中心對稱了。q的逆命題：若是奇函式，則偶函式證明：是奇函式時能否推出？只能推出，思考是確定的值嗎？能求嗎？問題轉化為導函式是0，原函式是什麼？可以舉出分段的常數函式 ，為使此命題成立，我們加強一下條件，將命題改為「對於在r上連續可導的函式，若是奇函式，則偶函式」。此時在處有定義，則，此時可得，原函式是偶函式。三**由原函式的對稱性能否推出導函式的對稱性對於連續的可導函式，原函式的奇偶性可以推出導函式的奇偶性，而逆命題中當導函式為奇。
7、函式時，原函式是偶函式，但當導函式為偶函式時，原函式不一定是奇函式，那麼此時原函式雖然不是奇函式了，它是不是也有什麼性質呢？它的影象應該是中心對稱的。能否將剛才的結論推廣一下？問題5 奇函式圖象特徵是關於原點中心對稱，偶函式圖象特徵是關於軸對稱，能否將上述命題推廣一下？p的推廣命題：若可導函式關於對稱，則它的導函式關於直線對稱。證明：關於對稱，則，即，所以其導函式關於直線對稱。q的推廣命題：若可導函式關於對稱，則它的導函式關於對稱證明：關於對稱，則，即所以其導函式關於對稱導函式的對稱中心在軸上. 修改命題.若可導函式關於對稱，則它的導函式關於對稱令中可得，能否從影象中找到解釋？四**由導函式的。
8、對稱性能否推出原函式的對稱性問題6 思考：命題，逆命題是否成立？命題的逆命題：對於在r上可導的函式，若它的導函式關於直線對稱，則原函式關於對稱證明：關於直線對稱，則而得當時可得，所以，即函式關於對稱。對稱中心在函式影象上。命題的逆命題：(課上只寫出命題，判斷驗證留作課後思考題)對於在r上連續可導的函式，若它的導函式關於對稱，則原函式關於直線對稱證明：關於直線對稱，則而得當時，此命題不成立。當時，由時可得，所以，即函式關於對稱。命題的逆命題需要修正，若對於在r上連續可導的函式，若它的導函式關於對稱，則原函式關於直線對稱五原函式與導函式對稱性聯絡的應用1.我們知道二次函式都是有對稱軸的，而二次函式。
9、又是三次函式的導函式，你能由此得出三次函式具有什麼性質？分析：由命題的逆命題知三次函式必有對稱中心。對稱中心的橫座標與導函式的對稱軸的橫座標相同。求任意三次多項式函式的對稱中心。解：，其對稱軸是，將此值代入解析式可得對稱中心縱座標。即函式的對稱中心為.2.若是偶函式，則的關係是 解：由其導函式是奇函式，且在0處有定義，可得，得，代回檢驗。小結：整體結構：原函式 導函式導函式 原函式奇偶性p： 可導的奇函式的導函式是偶函式(真)q: 可導的偶函式的導函式是奇函式(真)p逆：若是偶函式，則奇函式. (假)q逆：若是奇函式，則偶函式 . (真)對稱性r：若r上可導函式關於對稱，則它的導函式關於直線對。
10、稱。 (真)s: 若r上可導函式關於對稱，則它的導函式關於對稱。 (真)r逆：對於在r上可導的函式，若它的導函式關於直線對稱，則原函式關於對稱. (真)s逆(改)：對於在r上可導的函式，若它的導函式關於對稱，則原函式關於直線對稱。(真)證明上述命題的思路：1. 由原函式研究導函式用符合函式求導；2. 由導函式研究原函式從要證的式子出發尋找原函式的性質。課後思考研究：判斷s逆是否正確，如果正確嘗試證明，若不正確舉出反例。教學反思：學生對這樣的課很感興趣，一方面可以在探索的過程中加深對導數概念的理解，另一方面可以感受到數學內部的嚴謹性和對稱美。命題的產生來自經驗，命題的證明需要用復合函式的導數這一工具溝通原函式和導函式的對應關係，開始學生覺得有點吃力，需要教師加以啟發引導。但證過兩個命題後，學生對後面的命題證明就有了可以模擬遷移的樣板，證明的思路就更清晰了。最後講的兩個應用問題學生感覺這節課推出的命題是有用武之地的。這節課的主旨不在於記住這些命題，而在於體驗研究問題的一般方法。研究導函式的目的是實現轉化，將複雜的問題轉化為較簡單的問題，如用研究導函式的符號來研究原函式的單調性，用導函式的零點研究原函式的極值，用導函式的奇偶性研究原函式的對稱性等。
已知原函式和導函式的關係 原函式和導函式的關係
專業知識整理分享 課題 原函式與導函式的關係 首師大附中 數學組王建華 設計思路 這節課就是在學完導數與積分之後 學生從大量的例項中對原函式與導函式的關係有了 一定的認識的基礎上展開教學的。由於這部分內容課本上沒有 但數學內部的聯絡規律與對 稱美又會使學生既覺得有挑戰性又充滿 的興趣。備這個課的過程...
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