計算幾何之旋轉卡殼

2021-10-20 13:28:13 字數 1217 閱讀 6213

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根據凸包上的邊的最遠點隨著邊逆時針轉動,一起逆時針轉動的性質,使用計算幾何的一些方法進行旋轉遍歷。

例題1:二維平面上有若干個點,求該平面上最遠的兩個點的距離

首先,這兩個點一定凸包上。

很容易想到個o(n2)的演算法,暴力列舉凸包上的每兩點即可,想想更好的演算法。

乙個我證明不來的定理:

距離某個點最遠的點一定在距離某個點最遠的邊的兩端點上

所以我們迴圈找距離每條邊上最遠的點,求兩次dis(邊上的端點)即可

我們發現,還是o(n2)

但是畫圖我們可以發現,隨著逆時針取邊,其邊所對應的最遠的點也在逆時針的旋轉,這就可以實現o(n)的遍歷了,但是求凸包還有個o(nlogn)的過程,所以總體時間複雜度是o(nlogn)

1.求凸包

2.迴圈遍歷凸包上的每條邊,找到其最遠點,並求兩次dis

如何找到最遠點?

叉積!!!

對於s[i],s[i+1],p[j]形成的三角形,因為叉積正比於三角形面積,而底邊s[i],s[i+1]固定不變,叉積越大三角形面積越大,三角形的高越大,點到直線s[i],s[i+1]的距離越遠

迴圈判斷下乙個點是否比當前點更遠,如果更遠就再找下乙個點,直到找到為止

**如下(求凸包過程省略)

long

long

getdiameter()

return ans;

}

例題2:求最小矩陣覆蓋

首先,覆蓋所有點等價於覆蓋凸包點

其次,目標矩陣的某一條邊一定與凸包上的一條邊共線

迴圈遍歷邊找以這些邊作為矩陣的底邊矩陣的上左右邊即可

如何找上邊?

上邊就是最遠點所在的平行邊,旋轉卡殼找即可

如何找左右邊?

左邊就是以該底邊為x軸的最左邊點所在的垂直邊,可以用點積判角度找

同樣的,底邊逆時針轉動,其對應的最左邊的點也在逆時針轉動

也用旋轉卡殼找即可

步驟:用點積判斷兩個向量角度,從而判斷下乙個是否比當前點更靠左,如果更靠左,就再找下乙個點,直到找到最做點為止

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