數論1 素數約數反素數

素數是指只能被自身整除和被1整除的數（大於1的自然數，1不是素數）不是素數的數為合數

常見的題型有：素數的判定+素數的篩選兩種題型

素數的篩選：

const
int n=
1000001
;int primes[n]
,cnt;
//primes存素數 cnt 存素數的個數
bool st[n]
;//存數n是否被篩過
void
getprimes
(int n)
}}

若整數n除以整數d的餘數是0 ，即d能整除n，則稱d是n的約數， n是d的倍數

對於乙個數我們可以質因數分解，所以對於每個數n

我們可以分解成 p1 ^ c1+p2 ^ c2+……+px ^ cx

而約數個數也就是（c1+1） * （c2+1） * …… （cx+1）

而約數和就是（1+p1+p1^ 2 +p1^ 3+p1^ 4……+p1^ c1） (1+1+p2+p2^ 2+p2^ 3+p2^ 4…… +p2^ c2)……(1+pn+pn^ 2+pn^ 3……pn^ cn)

#include
#include
using
namespace std;
long
long prime[
3000100
],t[
3000100
],e[
3000100];
int vist[
3000100];
intmain()
for(
int j=
1;j<=num;j++
)//用最小質因子去篩 
else
//不是倍數的時候 }}
for(
int i=
1;i<=n;i++
)printf
("%lld\n"
,t[i]);
//輸出答案 
return0;
}

既然有約數個數，那麼跟定有約數和，現在我們就來講一下怎麼計算約數和。

根據上面約數個數的思想，我們也用分類討論來計算約數和。

同樣我們要定義兩個陣列，乙個是t，t[i]表示i的約數和，同樣我們也要乙個輔助的陣列e，e[i]表示不能被最小質因子整除的約數的和。

首先如果x是質數的話，約數只有自己和1，那麼t[x]=x+1，而不能被最小質因子整除的數也只有1，所以e[x]=1。

然後我們再用i*prime[j]去表示非質數的x，同樣，也分i可以整除prime[j]和不能整除。

不可以整除的話，意味著t[i]和t[prime[j]]這兩個是沒有重複部分的，因為他們這兩個數是互質的，證明一下吧，因為prime[j]是個質數，所以如果不是互質的話只有一種可能，就是i是prime[j]的倍數（這就是我們要這麼分類討論的原因，上面的分類討論也是因為這個）。所以t[x]=t[i]*prime[j]+t[i]，化簡一下就是t[x]=t[i] * （prime[j]+1）。而e因為不是倍數所以e[x]=t[i]

如果i是prime[j]的倍數的話因為他們中有重複的，重複的部分就是可以被最小質因子整除的約數和，也就是t[i]-e[i]，那麼我們為什麼不用e陣列直接存這個呢？因為不方便計算啊。所以我們就是t[x]=t[i] * prime[j]+t[i]-（t[i]-e[i]），化簡一下就是t[x]=t[i]*prime[j]+e[i]，而e因為是倍數所以我們要繼承一下e[x]=e[i]，這樣就計算完了。

#include
#include
using
namespace std;
long
long vist[
3000100
],prime[
3000100
],t[
3000100
],e[
3000100];
intmain()
for(
int j=
1;j<=num;j++
)else
//不是倍數 }}
for(
int i=
1;i<=n;i++
)printf
("%lld\n"
,t[i]);
//輸出 
return0;
}

反素數

#include
#include
using
namespace std;
typedef
unsigned
long
long ull;
#define inf ((ull)1)<<62
const
int maxn =
50000
;ull ans;
int type,k;
int d[maxn]
;int prime=
;void
create_table()
}void
dfs(
int pos,ull value,
int num)
for(
int i =
1; i <=
63; i++)}
intmain()
else
}return0;
}

數論1 素數約數反素數

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