揹包問題總結

本篇記錄各種揹包問題及解決思路：

問題：有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的價值是c[i]，體積是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。總所周知，該問題使用動態規劃來求解，且狀態轉移方程為：

下面用具體例子來解釋：當 n = 4，v = 8 時，價值陣列為 c = ，v = 。對於本題我們要求的答案就是 dp[4][8] 的值，根據狀態轉移方程可以得到：

dp[i][j]代表當揹包容量為j處理（分為裝或者不裝兩種）第i件物品時可以達到的最大價值，j比物品i的體積小時說明放不下了，那麼就不裝，此時dp[i][j] = dp[i-1][j]，代表容量為j處理物品i的最大價值與處理物品i-1時的最大價值相同。若可以放的下，我們需要考慮裝進去價值大還是不裝價值大，那麼為什麼裝進去的價值是 dp[i-1][j-v[i]] + c[i] 呢？因為只有剛剛好裝進去（裝滿揹包）才能達到理論上的最大價值，那麼 dp[i-1][j-v[i]] 就代表當容量正好剩餘物品i的體積且處理上乙個物品時的最大值，再加上物品i的價值則為裝入可得的最大值，兩者取大即可得到 dp[i][j]。

//0-1揹包問題(二維陣列)
//n代表物品數量，v代表揹包體積，product[0]為物品價值陣列，product[1]為物品體積陣列
private static int packageproblem(int n, int v, int product) }}
return result[n][v];
}

優化：如果手動實現過dp陣列就可以發現，求d[i][j]只與上一行（d[i-1]行）的資料有關，那麼我們可以將二維dp陣列用一維來實現，由於每次使用的是上一行靠前的元素（[j-v[i]]），可以採用倒序迴圈來更新陣列，就可以實現利用前面的資料後再修改。

//0-1揹包問題(一維陣列)
private static int packageproblem1(int n, int v, int product) 
}return result[v];
}

初始化的細節問題（引自揹包九講）我們看到的求最優解的揹包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求「恰好裝滿揹包」時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]為0其它f[1..v]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[n]是一種恰好裝滿揹包的最優解。如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是只希望**盡量大，初始化時應該將f[0..v]全部設為0。

為什麼呢？可以這樣理解：初始化的f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為0的揹包可能被價值為0的nothing「恰好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

這個小技巧完全可以推廣到其它型別的揹包問題，後面也就不再對進行狀態轉移之前的初始化進行講解。練習

在0-1揹包的基礎上令這n件物品的數量為無窮大，則問題化為完全揹包問題，即每一件物品可以取任意多個，不是只有裝或不裝兩種狀態。

揹包問題總結

揹包問題 01揹包總結

揹包問題總結

揹包問題總結

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